Постройте графики зависимости проекции равнодействующей скорости на ось Ох от времени для тела массой

оси OX с ускорением, заданным функцией \(a(t) = 2t + 1\), начальной скоростью \(v_0 = 3 \, \text{м/с}\) и начальной координатой \(x_0 = 0\).

Чтобы построить график зависимости проекции равнодействующей скорости на ось Ох от времени, мы должны знать зависимость равнодействующей скорости от времени. Для этого мы можем использовать формулу скорости:

\[v(t) = v_0 + \int_{0}^{t} a(\tau) \, d\tau\]

Наша задача - найти проекцию равнодействующей скорости, то есть горизонтальную составляющую скорости \(v_x(t)\). Для этого нам понадобится уравнение движения в проекции на ось OX:

\[x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v_x(\tau) \, d\tau\]

Начнем с нахождения интеграла ускорения:

\[\int_{0}^{t} a(\tau) \, d\tau = \int_{0}^{t} (2\tau + 1) \, d\tau\]

Проинтегрируем по частям:

\[\int_{0}^{t} (2\tau + 1) \, d\tau = \left[ \tau^2 + \tau \right]_{0}^{t} = (t^2 + t) - (0^2 + 0) = t^2 + t\]

Теперь мы можем найти скорость в проекции на ось OX:

\[v(t) = v_0 + \int_{0}^{t} a(\tau) \, d\tau = v_0 + t^2 + t\]

Подставим начальные условия в это выражение:

\[v(t) = 3 + t^2 + t\]

Теперь мы можем найти координату в проекции на ось OX:

\[x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v_x(\tau) \, d\tau = x_0 + \int_{0}^{t} (3 + \tau^2 + \tau) \, d\tau\]

Снова проинтегрируем по частям:

\[\int_{0}^{t} (3 + \tau^2 + \tau) \, d\tau = \left[ 3\tau + \frac{\tau^3}{3} + \frac{\tau^2}{2} \right]_{0}^{t} = 3t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} - (0 + 0 + 0) = 3t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2}\]

Подставим начальные условия в это выражение:

\[x(t) = 0 + 3t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2}\]

Теперь, чтобы построить график, мы можем выбрать различные значения времени \(t\) и вычислить соответствующие значения проекции равнодействующей скорости \(x(t)\) с использованием полученной формулы. Затем построим точки на координатной плоскости с осью OX (время) и OY (проекция равнодействующей скорости). Соединим эти точки линией, и график будет готов.

Например, выберем несколько значений времени \(t\) и рассчитаем соответствующие значения \(x(t)\):

\[
\begin{align*}
t = 0 \, \text{с}: & \quad x(0) = 0 \\
t = 1 \, \text{с}: & \quad x(1) = 3 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{17}{6} \\
t = 2 \, \text{с}: & \quad x(2) = 3 \cdot 2 + \frac{8}{3} + 2 = \frac{40}{3} \\
\end{align*}
\]

Затем построим график, используя эти точки.