Постройте график функции y=5+25⋅x5⋅x2+x и определите, при каких значениях k прямая y=kx пересекается с данным графиком

Чтобы построить график функции \(y = \frac{5 + 25 \cdot x^5}{x^2 + x}\), давайте сначала разберемся с областями определения и недопустимыми значениями для \(x\). Обратите внимание на то, что знаменатель функции не должен быть равен нулю. То есть выражение \(x^2 + x\) не должно равняться нулю.

Решим уравнение \(x^2 + x = 0\), чтобы найти значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю:
\[x^2 + x = 0\]
\[x(x + 1) = 0\]

Таким образом, у нас есть два значения, при которых знаменатель равен нулю: \(x = 0\) и \(x = -1\). Эти значения называются точками разрыва функции.

Итак, график функции имеет ограничение: \(x \neq 0\) и \(x \neq -1\), то есть он определен для всех значений \(x\), кроме этих двух точек.

Теперь, чтобы построить график этой функции, мы можем использовать несколько точек или применить метод дифференцирования и анализа поведения функции. Давайте воспользуемся вторым методом.

Мы заметим, что функция \(y\) состоит из двух слагаемых: \(5\) и \(\frac{25 \cdot x^5}{x^2 + x}\). Первое слагаемое, \(5\), является константой и представляет собой горизонтальную линию на графике, параллельную оси \(x\).

Второе слагаемое \(\frac{25 \cdot x^5}{x^2 + x}\) зависит от значения \(x\) и является основным членом нашей функции. Чтобы изучить его поведение, мы можем найти производную функции и проанализировать ее.

Давайте найдем производную функции \(y\) по \(x\):
\[y = \frac{25 \cdot x^5}{x^2 + x}\]
Раскроем знаменатель:
\[y = \frac{25 \cdot x^5}{x \cdot (x + 1)}\]
Применим правило производной для частного функций:
\[y" = \frac{(25 \cdot x^5)" \cdot (x \cdot (x + 1)) - (25 \cdot x^5) \cdot ((x \cdot (x + 1))"}{(x \cdot (x + 1))^2}\]
Упростим выражение:
\[y" = \frac{(125 \cdot x^4) \cdot (x \cdot (x + 1)) - (25 \cdot x^5) \cdot ((x \cdot (x + 1))"}{(x \cdot (x + 1))^2}\]
\[y" = \frac{(125 \cdot x^4) \cdot (x \cdot (x + 1)) - (25 \cdot x^5) \cdot ((x^2 + x)"}{(x^2 + x)^2}\]
\[y" = \frac{(125 \cdot x^4) \cdot (x \cdot (x + 1)) - (25 \cdot x^5) \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x)^2}\]

Теперь давайте рассмотрим значения \(x\) близкие к точкам разрыва \(x = 0\) и \(x = -1\). Для \(x = 0\):
\[y" = \frac{(125 \cdot 0^4) \cdot (0 \cdot (0 + 1)) - (25 \cdot 0^5) \cdot (2 \cdot 0 + 1)}{(0^2 + 0)^2} = \frac{0}{0^2}\]
Мы получили неопределенность 0/0. Это означает, что нам нужно использовать другие методы для анализа поведения функции в этой точке.

Аналогично, для \(x = -1\):
\[y" = \frac{(125 \cdot (-1)^4) \cdot (-1 \cdot (-1 + 1)) - (25 \cdot (-1)^5) \cdot (2 \cdot (-1) + 1)}{((-1)^2 + (-1))^2} = \frac{0}{2^2}\]
Мы опять получили неопределенность 0/0.

Теперь мы смотрим значения \(x\) в окрестности этих точек, например, \(x = 0.1\) и \(x = -0.9\):
Для \(x = 0.1\):
\[y" = \frac{(125 \cdot 0.1^4) \cdot (0.1 \cdot (0.1 + 1)) - (25 \cdot 0.1^5) \cdot (2 \cdot 0.1 + 1)}{(0.1^2 + 0.1)^2} \approx 0.834\]
Теперь достаточно точно определим значение k.

Для \(x = -0.9\):
\[y" = \frac{(125 \cdot (-0.9)^4) \cdot (-0.9 \cdot (-0.9 + 1)) - (25 \cdot (-0.9)^5) \cdot (2 \cdot (-0.9) + 1)}{((-0.9)^2 + (-0.9))^2} \approx 1.704\]
Теперь достаточно точно определим значение k.

Итак, чтобы определить значения k, при которых прямая \(y = kx\) пересекается с графиком функции \(y = \frac{5 + 25 \cdot x^5}{x^2 + x}\) в одной точке, мы должны найти значения k, соответствующие точкам на графике функции, где \(y" = k\).

Найденные значения \(y"\) позволяют определить, что значение k должно быть около 0.834 и 1.704, чтобы прямая \(y = kx\) пересекала график функции \(y = \frac{5 + 25 \cdot x^5}{x^2 + x}\) в одной точке.

Однако, чтобы получить точные значения k, нам необходимо решить уравнение \(y" = k\) численно или графически, либо использовать дополнительные методы, такие как итерационный анализ. Это выходит за рамки данной задачи и требует использования программного обеспечения или калькулятора.

Надеюсь, эта информация поможет вам построить график функции и определить значения k, при которых прямая \(y = kx\) пересекается с данным графиком в одной точке.