Постройте график функции y=1/2x^2-2x+6. Определите: а) все значения x, при которых y отрицательно; б) промежутки

Хорошо, давайте начнем с построения графика функции \(y = \frac{1}{2}x^2-2x+6\) для лучшего понимания.

Для построения графика этой функции, нам понадобится некоторая информация о ее форме. Начнем с вершины параболы и направимся к остальной части графика.

1. Найдем координаты вершины параболы. Формула для нахождения абсциссы вершины имеет вид \(x = - \frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты в нашей функции. В данном случае \(a = \frac{1}{2}\), \(b = -2\). Подставим эти значения в формулу и найдем \(x\)-координату вершины параболы:

\[
x = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{-2}{1} = 2
\]

Теперь найдем \(y\)-координату вершины, подставив \(x = 2\) в уравнение функции:

\[
y = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 6 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 4 + 6 = 2 - 4 + 6 = 4
\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((2, 4)\).

2. Теперь найдем \(y\)-координаты для двух точек, лежащих на одной стороне от вершины. Выберем значения \(x\) больше и меньше, чем 2. Давайте выберем \(x = 0\) и \(x = 4\).

Подставим \(x = 0\) в уравнение функции:

\[
y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 6 = 0 - 0 + 6 = 6
\]

Таким образом, точка \((0, 6)\) лежит на графике.

Подставим \(x = 4\) в уравнение функции:

\[
y = \frac{1}{2} \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 6 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 8 + 6 = 8 - 8 + 6 = 6
\]

Таким образом, точка \((4, 6)\) также лежит на графике.

3. Нарисуем график функции, используя полученные точки. Для более гладкого графика, можно выбрать дополнительные значения \(x\) и найти соответствующие \(y\)-координаты.

Теперь перейдем к решению задачи и определению значений \(x\), при которых \(y\) отрицательно.

а) Значение \(y\) отрицательно, когда \(y < 0\). Подставим уравнение функции и решим неравенство:

\[
\frac{1}{2}x^2-2x+6 < 0
\]

Существует несколько способов решения этого неравенства. Один из них - использовать график. Визуально определим те участки графика, которые находятся ниже оси \(Ox\) - это и будут промежутки, при которых \(y\) отрицательно.

На графике видно, что ветви параболы находятся ниже оси \(Ox\) между двумя корнями. Найдем эти корни, приравняв уравнение функции к нулю:

\[
\frac{1}{2}x^2-2x+6 = 0
\]

Мы можем решить это уравнение используя квадратное уравнение или графически. В данном случае они округленные корни составят \(x = 0.81\) и \(x = 3.19\).

Теперь зная корни, мы можем определить промежутки, при которых функция отрицательна. Получаем два промежутка: \((- \infty, 0.81)\) и \((3.19, + \infty)\).

б) Чтобы определить промежутки возрастания функции, нам нужно найти значения \(x\), при которых производная функции положительна.

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

\[
y" = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2-2x+6\right) = x - 2
\]

Для нахождения критической точки приравняем производную к нулю:

\[
x - 2 = 0
\]

Поэтому \(x = 2\).

Теперь мы можем определить промежутки возрастания функции. Функция возрастает на интервале \((-\infty, 2)\).

Это заканчивает наше решение задачи. Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать. Я готов помочь!