Постройте диаграмму графика для функции y=(x-3)²-2. Определите интервалы, на которых функция возрастает и убывает

Хорошо! Давайте решим эту задачу поэтапно.

1. Шаг: У нас есть функция \(y=(x-3)^2-2\). Чтобы построить график этой функции, нам нужно знать, как она меняется в зависимости от значения \(x\).

2. Шаг: Для начала, давайте найдем вершину параболы функции. Вершина параболы - это точка, в которой функция достигает экстремума, то есть минимума или максимума. Для нашей функции \(y=(x-3)^2-2\) вершина параболы находится при \(x=3\).

3. Шаг: Чтобы определить, является ли вершина минимумом или максимумом, мы можем посмотреть на коэффициент при \(x^2\). Если он положительный, значит парабола открывается вверх, и вершина является минимумом. Если коэффициент отрицательный, парабола открывается вниз, и вершина будет максимумом. В нашем случае, коэффициент при \(x^2\) равен 1, а это положительное число, поэтому вершина функции является минимумом.

4. Шаг: Построим график функции. Начнем с вершины параболы. У нас вершина находится при \(x=3\), а значение функции равно \(y=(3-3)^2-2=-2\).

5. Шаг: Теперь построим график параболы. Мы знаем, что парабола открывается вверх и имеет минимум в точке \((3,-2)\). Мы можем построить параболу, рассчитав некоторые её значения для x, находящихся вблизи вершины.

Подставив значение \(x=2\) в функцию, получим \(y=(2-3)^2-2=1-2=-1\).
Подставив значение \(x=4\) в функцию, получим \(y=(4-3)^2-2=1-2=-1\).

Таким образом, мы получили две точки графика: \((2,-1)\) и \((4,-1)\).

6. Шаг: Подготовим таблицу значений для некоторых интересующих нас значений x и подставим их в функцию:
| x | y |
|---|---|
| 2 | -1 |
| 3 | -2 |
| 4 | -1 |

7. Шаг: Построим график, соединив полученные точки. Мы видим, что график будет иметь форму параболы, открытой вверх, с минимумом в точке \((3,-2)\).

8. Шаг: Определим интервалы возрастания и убывания функции. Для этого нам нужно знать, в каких промежутках \(x\) функция \(y=(x-3)^2-2\) возрастает или убывает.

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нам нужно проанализировать производную функции, которая равна \(y" = 2(x-3)\). С помощью производной мы можем определить, когда функция возрастает или убывает.

Производная положительна (\(y">0\)), когда \(x>3\), что означает, что функция возрастает в интервале \((3, +\infty)\).
Производная отрицательна (\(y"<0\)), когда \(x<3\), что означает, что функция убывает в интервале \((-\infty, 3)\).

Таким образом, мы построили график функции \(y=(x-3)^2-2\) и определили интервалы, на которых она возрастает (\((3, +\infty)\)) и убывает (\((-\infty, 3)\)).