Построить график функции, а также функции, которая является обратной к данной. Найти область определения и множество

Хорошо! Давайте решим эту задачу по порядку.

Шаг 1: Построение графика функции \( y = x^2 - 1 \).
Для построения графика функции необходимо знать, какой вид она имеет и как она взаимодействует с осями координат.

Начнем с того, что мы имеем квадратное уравнение с переменной \( x \) в квадрате. Мы знаем, что график квадратной функции имеет форму параболы. В данном случае, поскольку коэффициент при \( x^2 \) равен 1, это будет парабола, открывающаяся вверх.

Чтобы построить график, мы можем использовать таблицу значений. Выберем несколько значений для переменной \( x \) и найдем соответствующие значения для \( y \).

\[
\begin{align*}
x & \quad y \\
\hline
-2 & \quad (-2)^2 - 1 = 3 \\
-1 & \quad (-1)^2 - 1 = 0 \\
0 & \quad 0^2 - 1 = -1 \\
1 & \quad 1^2 - 1 = 0 \\
2 & \quad 2^2 - 1 = 3 \\
\end{align*}
\]

Шаг 2: Построение графика.
Используя найденные значения \( x \) и \( y \), мы можем отметить точки на координатной плоскости и соединить их линией.

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \( x \),
ylabel = \( y \),
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-2, ymax=4,
xtick = {-2,-1,0,1,2},
ytick = {-1,0,1,2,3}
]
\addplot [
domain=-2.5:2.5,
samples=100,
color=blue,
]
{x^2 - 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Шаг 3: Поиск обратной функции.
Чтобы найти обратную функцию, мы меняем местами переменные \( x \) и \( y \) и решаем уравнение относительно \( y \).

\[
\begin{align*}
y &= x^2 - 1 \\
x &= y^2 - 1 \\
y^2 &= x + 1 \\
y &= \pm \sqrt{x + 1}
\end{align*}
\]

Здесь мы получаем две функции: \( y = \sqrt{x + 1} \) и \( y = -\sqrt{x + 1} \). Обратная функция разделена на две ветви в результате извлечения квадратного корня.

Шаг 4: Область определения и множество значений.
Область определения - это множество значений переменной \( x \), для которых функция определена. В данном случае, функция \( y = x^2 - 1 \) определена для всех действительных чисел \( x \).

Множество значений - это множество значений функции \( y \) при заданных значениях переменной \( x \). Для функции \( y = x^2 - 1 \), множество значений будет состоять из всех значений, которые может принимать выражение \( x^2 - 1 \), то есть все действительные числа.

Таким образом:
Область определения: \(\mathbb{R}\) (все действительные числа)
Множество значений: \(\mathbb{R}\) (все действительные числа)

Готово! Мы построили график функции \( y = x^2 - 1 \), нашли ее обратную функцию, а также определили область определения и множество значений для обеих функций. Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникнут какие-либо вопросы или если вам нужно что-то еще объяснить!