Построить через точку пересечения плоскости x+y+z-1=0 с прямой {y=1, z+1=0} прямую, которая находится в

Чтобы построить прямую, проходящую через точку пересечения плоскости \(x+y+z-1=0\) и прямой \(\{y=1, z+1=0\}\), и находящуюся в той же плоскости, мы можем использовать нормальный вектор плоскости в качестве направляющего вектора этой прямой.

Найдем нормальный вектор плоскости:
Уравнение плоскости дано в канонической форме \(Ax+By+Cz+D=0\), где \(A\), \(B\), \(C\) - коэффициенты плоскости, а \(D\) - свободный член. Соответственно, в нашем случае \(A=1\), \(B=1\), \(C=1\), \(D=-1\).
Нормальный вектор плоскости равен \(\vec{N} = (A, B, C) = (1, 1, 1)\).

Так как мы хотим построить прямую, перпендикулярную заданной прямой, и находящуюся в той же плоскости, мы можем использовать направляющий вектор заданной прямой в качестве второго направляющего вектора нашей прямой.

Направляющий вектор заданной прямой \(\vec{v} = (0, 1, -1)\).

Теперь, чтобы найти уравнение искомой прямой, мы можем использовать найденную точку пересечения плоскости и заданный направляющий вектор. Обозначим точку пересечения плоскости как \(P(x_0, y_0, z_0)\).

Так как прямая проходит через \(P\) и перпендикулярна направляющему вектору заданной прямой \(\vec{v}\), мы можем записать уравнение искомой прямой в параметрической форме следующим образом:

\[
\begin{cases}
x = x_0 + tv_x \\
y = y_0 + tv_y \\
z = z_0 + tv_z \\
\end{cases}
\]

где \(t\) - параметр, а \(v_x\), \(v_y\), \(v_z\) - координаты вектора \(\vec{v}\).

Таким образом, мы получаем уравнение искомой прямой:

\[
\begin{cases}
x = x_0 \\
y = y_0 + t \\
z = z_0 - t \\
\end{cases}
\]

где \(t\) может быть любым числом.

Итак, мы построили прямую, которая проходит через точку пересечения плоскости \(x+y+z-1=0\) и прямой \(\{y=1, z+1=0\}\), находится в той же плоскости и перпендикулярна заданной прямой.