Построение графика квадратичной функции - Самостоятельная работа 1 вариант: 1. Какие координаты у вершины параболы

Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди.

1. Координаты вершины параболы могут быть определены по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) - коэффициент при \(x^2\), а \(b\) - коэффициент при \(x\).

а) Для функции \(y = -x^2 - 4x + 5\) коэффициенты равны: \(a = -1\), \(b = -4\). Подставляем значения в формулу: \(x = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = 2\). Подставляем \(x = 2\) в исходную функцию и найдем \(y\): \(y = -(2)^2 - 4 \cdot 2 + 5 = -1\). Таким образом, координаты вершины параболы равны (2, -1).

б) Для функции \(y = 2x^2 - 4x - 6\) коэффициенты равны: \(a = 2\), \(b = -4\). Подставляем значения в формулу: \(x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1\). Подставляем \(x = 1\) в исходную функцию и найдем \(y\): \(y = 2(1)^2 - 4 \cdot 1 - 6 = -8\). Таким образом, координаты вершины параболы равны (1, -8).

в) Для функции \(y = 0.5x^2 + 3x + 2.5\) коэффициенты равны: \(a = 0.5\), \(b = 3\). Подставляем значения в формулу: \(x = -\frac{3}{2 \cdot 0.5} = -3\). Подставляем \(x = -3\) в исходную функцию и найдем \(y\): \(y = 0.5(-3)^2 + 3 \cdot (-3) + 2.5 = -0.5\). Таким образом, координаты вершины параболы равны (-3, -0.5).

г) Для функции \(y = -x^2 + 2x\) коэффициенты равны: \(a = -1\), \(b = 2\). Подставляем значения в формулу: \(x = -\frac{2}{2 \cdot -1} = 1\). Подставляем \(x = 1\) в исходную функцию и найдем \(y\): \(y = -(1)^2 + 2 \cdot 1 = 1\). Таким образом, координаты вершины параболы равны (1, 1).

2. Для построения графиков квадратичных функций рассмотрим основные шаги:

а) Функция \(y = x^2 - 2x + 1\):
- Найдем координаты вершины, следуя пункту 1: \(x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\), \(y = (1)^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0\). Вершина находится в точке (1, 0).
- Построим график, используя вершину и дополнительные точки. Можно выбрать несколько значений \(x\) и подставить их в функцию, чтобы найти соответствующие значения \(y\). Например, при \(x = 0\) получим \(y = (0)^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1\). Таким образом, имеем следующие координаты точек: (0, 1), (1, 0), (2, 1), (-1, 4), (-2, 9), и т.д. Соединим полученные точки гладкой кривой. Полученный график будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх.

б) Функция \(y = -2x^2 + 3x - 4\):
- Найдем координаты вершины, следуя пункту 1: \(x = -\frac{3}{2 \cdot -2} = \frac{3}{4}\), \(y = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} - 4 = -\frac{35}{8}\). Вершина находится в точке \(\left(\frac{3}{4}, -\frac{35}{8}\right)\).
- Построим график, используя вершину и дополнительные точки. Обратите внимание, что для отрицательного коэффициента при \(x^2\) парабола будет открываться вниз. Выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\). Например, при \(x = 0\) получим \(y = -2(0)^2 + 3 \cdot 0 - 4 = -4\). Таким образом, имеем следующие координаты точек: (0, -4), \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{35}{8}\right)\), \(\left(\frac{3}{4}, -\frac{35}{8}\right)\), (1, -3), (-1, -9), и т.д. Соединим полученные точки гладкой кривой. Полученный график будет представлять собой параболу, открывающуюся вниз.

в) Функция \(y = 2x^2 + x + 4\):
- Найдем координаты вершины, следуя пункту 1: \(x = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}\), \(y = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) + 4 = \frac{31}{8}\). Вершина находится в точке \(\left(-\frac{1}{4}, \frac{31}{8}\right)\).
- Построим график, используя вершину и дополнительные точки. Данная функция имеет положительный коэффициент при \(x^2\), поэтому парабола будет открываться вверх. Выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\). Например, при \(x = 0\) получим \(y = 2(0)^2 + 0 + 4 = 4\). Таким образом, имеем следующие координаты точек: (0, 4), \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}\right)\), \(\left(-\frac{1}{4}, \frac{31}{8}\right)\), (1, 7), (-1, 7), и т.д. Соединим полученные точки гладкой кривой. Полученный график будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх.

г) Функция \(y = -x^2 + 3x\):
- Найдем координаты вершины, следуя пункту 1: \(x = -\frac{3}{2 \cdot -1} = \frac{3}{2}\), \(y = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}\). Вершина находится в точке \(\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)\).
- Построим график, используя вершину и дополнительные точки. Обратите внимание, что для отрицательного коэффициента при \(x^2\) парабола будет открываться вниз. Выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\). Например, при \(x = 0\) получим \(y = -(0)^2 + 3 \cdot 0 = 0\). Таким образом, имеем следующие координаты точек: (0, 0), \(\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{8}\right)\), \(\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)\), (1, 2), (-1, 4), и т.д. Соединим полученные точки гладкой кривой. Полученный график будет представлять собой параболу, открывающуюся вниз.

3. Для построения графика функции и описания её свойств нужно учитывать несколько факторов:

Функция \(y = 2\) является постоянной, так как не зависит от \(x\). График этой функции представляет собой горизонтальную прямую, которая пересекает ось \(y\) в точке \(y = 2\).

Если у функции есть дополнительные компоненты или параметры, нужно также учесть их при построении графика и описании свойств. Пожалуйста, уточните, чтобы я мог предоставить более подробное описание и нарисовать график для заданной функции.