После замыкания ключа k в цепи, изображенной на рисунке, истекшем некоторое время τ, наступит стационарный режим

Для начала, давайте определим, что происходит в цепи после замыкания ключа k. Изначально, конденсатор разряжен и не проводит электрический ток, поэтому выделяющаяся мощность в резисторе r будет равна нулю. Однако, с течением времени, когда происходит зарядка конденсатора, ток протекает через резистор, и мощность начинает выделяться.

Закон изменения расстояния между пластинами конденсатора d(t) = d0(1 + a sin ωt) описывает колебания расстояния между пластинами конденсатора со временем. Здесь d0 - начальное расстояние между пластинами конденсатора, a - амплитуда колебаний, ω - угловая частота колебаний.

При быстрых изменениях ёмкости (2π/ω << τ), мы можем считать, что за время одного периода колебаний, конденсатор успевает зарядиться и достигает почти полной зарядки (стационарного состояния). Поэтому, нас интересует стационарный режим.

Чтобы определить выделяющуюся мощность в резисторе r в стационарном режиме, мы должны найти среднее значение квадрата тока через резистор. Для этого, нужно найти среднее значение квадрата зарядки конденсатора за период колебаний.

Пусть Q(t) - заряд конденсатора в момент времени t. Тогда выделяющаяся мощность в резисторе r будет определяться как:
\[P = \frac{{Q^2}}{{r}}\]

Найдем среднее значение квадрата зарядки конденсатора за период колебаний:
\[\overline{Q^2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} Q^2(t) dt\]

Учитывая, что:
\[Q(t) = C \cdot V(t)\]
где С - ёмкость конденсатора, а V(t) - напряжение на конденсаторе в момент времени t, можем записать:
\[\overline{Q^2} = C^2 \cdot \overline{V^2}\]

Теперь наша задача сводится к нахождению среднего значения квадрата напряжения на конденсаторе. Для этого рассмотрим формулу изменения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.
\[V(t) = E - \frac{Q(t)}{C} = E - \frac{Q(t)}{C} = E - \frac{Q(t)}{C} = E - \frac{1}{C} \int_{0}^{t} I(x)dx\]

где E - ЭДС источника внутри цепи, В - заряд, с - ёмкость конденсатора, I(х) - ток через резистор в момент времени х.

Для решения задачи будем использовать метод комплексных амплитуд. Для этого представим каждую величину, зависящую от времени, как сумму постоянной (стационарной составляющей) и гармонической (колебательной составляющей) частей:
\[V(t) = V_{st} + \widetilde{V} e^{i\omega t}\]
\[Q(t) = Q_{st} + \widetilde{Q} e^{i\omega t}\]
\[I(t) = I_{st} + \widetilde{I} e^{i\omega t}\]

где V_{st}, Q_{st}, I_{st} - стационарные составляющие, \widetilde{V}, \widetilde{Q}, \widetilde{I} - комплексные амплитуды колебаний.

Подставим эти выражения в уравнение для напряжения на конденсаторе и исключим стационарные составляющие:
\[E - \frac{1}{C} \int_{0}^{t} [I_{st} + \widetilde{I} e^{i\omega x}] dx = V_{st} + \widetilde{V} e^{i\omega t}\]

Стационарные составляющие уравнения равны друг другу, поэтому:
\[E - \frac{1}{C} (I_{st} \int_{0}^{t} dx + \widetilde{I} \int_{0}^{t} e^{i\omega x}dx) = V_{st}\]

Так как \int_{0}^{t} dx = t и \int_{0}^{t} e^{i\omega x}dx = \frac{e^{i\omega t} - 1}{i\omega}, подставим значения:
\[E - \frac{1}{C} (I_{st} t + \widetilde{I} \frac{e^{i\omega t} - 1}{i\omega}) = V_{st}\]

Теперь мы можем найти комплексную амплитуду напряжения, используя это уравнение. После этого, найдите квадрат модуля комплексной амплитуды напряжения:
\[|\widetilde{V}|^2 = \Re(\widetilde{V})^2 + \Im(\widetilde{V})^2\]

где \Re(\widetilde{V}) и \Im(\widetilde{V}) - действительная и мнимая части комплексной амплитуды напряжения соответственно.

Затем, выразим квадрат модуля комплексной амплитуды заряда, используя выражение для комплексной амплитуды напряжения, и найдите его среднее значение за период колебаний.

Наконец, найдите выделяющуюся мощность в резисторе, используя формулу:
\[P = \frac{{\overline{Q^2}}}{{r}}\]

Обратите внимание, что для нахождения конечного ответа мы должны использовать заданные параметры - e, r и a. Я могу помочь вам применить все эти формулы вместе и получить окончательный ответ.