Покажите, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l, то и вторая прямая также будет

Давайте докажем данное утверждение.

Предположим, что у нас есть две параллельные прямые \(p\) и \(q\), и прямая \(l\), которая пересекает прямую \(p\). Нам нужно показать, что прямая \(l\) также пересечет прямую \(q\).

Для начала, давайте построим прямые \(p\), \(q\) и \(l\) на плоскости для наглядности.

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\end{array} \]

Теперь рассмотрим точку пересечения прямой \(l\) и прямой \(p\) и обозначим ее как \(A\).

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\end{array} \]

Так как прямые \(p\) и \(q\) параллельны, угол между ними равен 180 градусов или \(\pi\) радиан. Пусть угол между прямыми \(p\) и \(l\) будет обозначен как \(a\).

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\end{array} \]

Теперь давайте рассмотрим третью прямую, которая пересекает прямую \(l\) в точке \(A\) и перпендикулярна прямой \(p\). Обозначим эту прямую как \(r\).

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\end{array} \]

Поскольку прямая \(r\) перпендикулярна прямой \(p\), угол между прямыми \(r\) и \(p\) равен 90 градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\end{array} \]

Теперь обратим внимание на угол между прямыми \(r\) и \(l\). Пусть этот угол будет обозначен как \(b\).

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
b \\
\end{array} \]

Так как угол \(a\) и угол \(b\) являются смежными и оба пересекаются в точке \(A\), сумма углов \(a\) и \(b\) должна быть равна 180 градусам или \(\pi\) радиан.

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
b \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\end{array} \]

Следовательно, у нас есть:

\[ a + b = \pi \]

Теперь вернемся к прямой \(q\). Мы видим, что прямая \(q\) пересекает прямую \(r\) в некоторой точке, обозначим эту точку как \(B\).

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
b \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
B \\
\end{array} \]

Мы также видим, что прямая \(r\) пересекает прямую \(p\) в точке \(B\).

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
b \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
B \\
\backslash \\
A \\
\end{array} \]

Теперь давайте рассмотрим угол между прямыми \(q\) и \(r\). Пусть этот угол будет обозначен как \(c\).

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
b \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
B \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
c \\
\end{array} \]

Так как угол \(b\) и угол \(c\) являются смежными и оба пересекаются в точке \(B\), сумма углов \(b\) и \(c\) должна быть равна 180 градусам или \(\pi\) радиан.

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
b \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
B \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
c \\
\backslash \\
b \\
\end{array} \]

Теперь мы видим, что:

\[ b + c = \pi \]

Учитывая, что \(a + b = \pi\), заменяя \(b\) в уравнении \(b + c = \pi\) значением \(a\), мы получаем:

\[ a + c = \pi \]

Это означает, что угол между прямыми \(q\) и \(r\) также равен \(a\).

\[ \begin{array}{c}
l \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
\backslash \\
p \quad q \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
a \\
\backslash \\
r \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
b \\
\backslash \\
\frac{\pi}{2} \\
\backslash \\
B \\
\backslash \\
A \\
\backslash \\
c \\
\backslash \\
b \\
\backslash \\
a \\
\end{array} \]

Итак, мы видим, что прямая \(q\) пересекает прямую \(r\) в точке \(B\), и прямая \(r\) пересекает прямую \(l\) в точке \(A\). Таким образом, если одна из параллельных прямых пересекает данную прямую \(l\), то и вторая прямая также будет пересекать \(l\).

Мы только что доказали данное утверждение, объяснив каждый шаг и предоставив пошаговое решение.