Покажите, что авсд является параллелограммом, где ас и вд - диаметры окружности с центром

Чтобы показать, что \(ABCD\) является параллелограммом, где \(AC\) и \(BD\) - диаметры окружности с центром \(O\), мы должны доказать два следующих утверждения:

1. Стороны противоположных сторон параллельны: \(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\).
2. Противоположные стороны равны по длине: \(AB = CD\) и \(AD = BC\).

Поехали доказывать!

Возьмем треугольники \(\Delta AOB\) и \(\Delta COD\). Обратите внимание, что эти треугольники имеют общую точку \(O\), долями углами и по две равных стороны: \(OA = OC\) и \(OB = OD\), так как \(AOCD\) является квадратом.

Теперь рассмотрим углы \(\angle AOB\) и \(\angle COD\). Поскольку это треугольники с равными сторонами, эти углы также должны быть равными: \(\angle AOB = \angle COD\).

Из второго утверждения равенства противоположных сторон следует, что \(\Delta AOB\) и \(\Delta COD\) - равнобедренные треугольники, поскольку у них две равные стороны и два равных угла.

Используем свойство равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, образованного равными сторонами, является высотой и медианой.

Таким образом, биссектрисы углов \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) являются одновременно высотами и медианами в треугольниках \(\Delta AOB\) и \(\Delta COD\).

Рассмотрим биссектрисы \(\overline{OM}\) и \(\overline{ON}\), которые перпендикулярны к сторонам \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) соответственно.

Мы видим, что биссектрисы пересекаются в точке \(O\), поскольку это центр окружности.

Теперь посмотрим на треугольники \(\Delta OBM\) и \(\Delta ODN\). В этих треугольниках углы \(\angle OBM\) и \(\angle ODN\) являются прямыми, так как биссектрисы являются перпендикулярами к сторонам.

Также эти треугольники имеют общий угол \(\angle MOB = \angle NOD\), так как они обращены к одной и той же стороне внутри параллелограмма.

Теперь мы видим, что треугольники \(\Delta OBM\) и \(\Delta ODN\) имеют равные прямые углы, общую сторону \(OB = OD\) и одинаковую сторону \(\overline{OM} = \overline{ON}\).

Следовательно, по критерию равенства треугольников \(\Delta OBM\) и \(\Delta ODN\) равны, откуда следует, что \(\overline{BM} = \overline{DN}\).

Теперь мы получили равенство, которое требовалось для \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\).

Следовательно, мы доказали, что стороны противоположные сторон параллелограмма \(ABCD\) - это \(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\), и что соответствующие стороны равны по длине \(AB = CD\) и \(AD = BC\).

Таким образом, мы доказали, что \(ABCD\) является параллелограммом.