1) Какова длина третьей стороны и других углов данного треугольника, если две стороны равны 8 см и корень из 72

Задача 1:
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

Где:
$c$ - длина третьей стороны треугольника,
$a$ и $b$ - длины известных сторон треугольника,
$C$ - угол противолежащий третьей стороне.

В данной задаче, известны две стороны треугольника: 8 см и $\sqrt{72}$ см.

Для начала найдем длину третьей стороны $c$:

$$c^2=(8{)}^2+(\sqrt{72}{)}^2-2\cdot 8\cdot \sqrt{72}\cdot \cos (45°)$$

Упростим выражение:

$$c^2=64+72-2\cdot 8\cdot \sqrt{72}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$c^2=136+8\sqrt{72}-8\sqrt{72}$$

$$c^2=136$$

Теперь найдем длину третьей стороны:

$$c=\sqrt{136}\approx 11,66\text{см}$$

Также нам нужно найти углы треугольника. Мы можем использовать теорему синусов для этого:

$$\frac{\sin (A)}{a}=\frac{\sin (B)}{b}=\frac{\sin (C)}{c}$$

Где:
$A$, $B$ и $C$ - углы треугольника,
$a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника.

В данной задаче, углом $A$ является 45°, а стороны треугольника равны: 8 см, $\sqrt{72}$ см и 11,66 см (округленно).

Теперь найдем остальные углы. Выберем, к примеру, угол $B$:

$$\frac{\sin (45°)}{8}=\frac{\sin (B)}{\sqrt{72}}$$

$$\sin (B)=\frac{\sqrt{72}\cdot \sin (45°)}{8}$$

$$B=\arcsin \left(\frac{\sqrt{72}\cdot \sin (45°)}{8}\right)$$

Аналогичным образом мы можем найти угол $C$:

$$\frac{\sin (45°)}{8}=\frac{\sin (C)}{11,66}$$

$$\sin (C)=\frac{11,66\cdot \sin (45°)}{8}$$

$$C=\arcsin \left(\frac{11,66\cdot \sin (45°)}{8}\right)$$

Вот таким образом мы можем найти длину третьей стороны и углы треугольника.

Задача 2:
Для решения этой задачи также можно использовать теорему косинусов.

Два стороны равны 6 см и 18 см, а угол между ними составляет -60°.

Для начала найдем длину третьей стороны $c$:

$$c^2=(6{)}^2+(18{)}^2-2\cdot 6\cdot 18\cdot \cos (-60°)$$

Упростим выражение:

$$c^2=36+324+2\cdot 6\cdot 18\cdot \frac{1}{2}$$

$$c^2=36+324+54$$

$$c^2=414$$

Теперь найдем длину третьей стороны:

$$c=\sqrt{414}\approx 20,35\text{см}$$

Задача 3:
Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов.

Строны треугольника равны 7 см, 12 см и $\sqrt{109}$ см.

Найдем угол, противолежащий средней стороне $B$, используя теорему синусов:

$$\frac{\sin (A)}{a}=\frac{\sin (B)}{b}=\frac{\sin (C)}{c}$$

У нас есть стороны $a=7$ см, $b=12$ см, $c=\sqrt{109}$ см. Мы знаем, что сторона $b$ является средней стороной.

Теперь найдем угол $B$:

$$\frac{\sin (A)}{a}=\frac{\sin (B)}{b}$$

$$\frac{\sin (A)}{7}=\frac{\sin (B)}{12}$$

$$\sin (B)=\frac{\sin (A)\cdot 12}{7}$$

$$B=\arcsin \left(\frac{\sin (A)\cdot 12}{7}\right)$$

Таким образом мы можем найти угол $B$, противолежащий средней стороне треугольника.