1) Какова длина третьей стороны и других углов данного треугольника, если две стороны равны 8 см и корень из 72

Задача 1:
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где:
\(c\) - длина третьей стороны треугольника,
\(a\) и \(b\) - длины известных сторон треугольника,
\(C\) - угол противолежащий третьей стороне.

В данной задаче, известны две стороны треугольника: 8 см и \(\sqrt{72}\) см.

Для начала найдем длину третьей стороны \(c\):

\[c^2 = (8)^2 + (\sqrt{72})^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{72} \cdot \cos(45°)\]

Упростим выражение:

\[c^2 = 64 + 72 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{72} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[c^2 = 136 + 8\sqrt{72} - 8\sqrt{72}\]

\[c^2 = 136\]

Теперь найдем длину третьей стороны:

\[c = \sqrt{136} \approx 11,66 \, \text{см}\]

Также нам нужно найти углы треугольника. Мы можем использовать теорему синусов для этого:

\[\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}\]

Где:
\(A\), \(B\) и \(C\) - углы треугольника,
\(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника.

В данной задаче, углом \(A\) является 45°, а стороны треугольника равны: 8 см, \(\sqrt{72}\) см и 11,66 см (округленно).

Теперь найдем остальные углы. Выберем, к примеру, угол \(B\):

\[\frac{\sin(45°)}{8} = \frac{\sin(B)}{\sqrt{72}}\]

\[\sin(B) = \frac{\sqrt{72} \cdot \sin(45°)}{8} \]

\[B = \arcsin\left(\frac{\sqrt{72} \cdot \sin(45°)}{8}\right)\]

Аналогичным образом мы можем найти угол \(C\):

\[\frac{\sin(45°)}{8} = \frac{\sin(C)}{11,66}\]

\[\sin(C) = \frac{11,66 \cdot \sin(45°)}{8} \]

\[C = \arcsin\left(\frac{11,66 \cdot \sin(45°)}{8}\right)\]

Вот таким образом мы можем найти длину третьей стороны и углы треугольника.

Задача 2:
Для решения этой задачи также можно использовать теорему косинусов.

Два стороны равны 6 см и 18 см, а угол между ними составляет -60°.

Для начала найдем длину третьей стороны \(c\):

\[c^2 = (6)^2 + (18)^2 - 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot \cos(-60°)\]

Упростим выражение:

\[c^2 = 36 + 324 + 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2}\]

\[c^2 = 36 + 324 + 54\]

\[c^2 = 414\]

Теперь найдем длину третьей стороны:

\[c = \sqrt{414} \approx 20,35 \, \text{см}\]

Задача 3:
Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов.

Строны треугольника равны 7 см, 12 см и \(\sqrt{109}\) см.

Найдем угол, противолежащий средней стороне \(B\), используя теорему синусов:

\[\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}\]

У нас есть стороны \(a = 7\) см, \(b = 12\) см, \(c = \sqrt{109}\) см. Мы знаем, что сторона \(b\) является средней стороной.

Теперь найдем угол \(B\):

\[\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}\]

\[\frac{\sin(A)}{7} = \frac{\sin(B)}{12}\]

\[\sin(B) = \frac{\sin(A) \cdot 12}{7}\]

\[B = \arcsin\left(\frac{\sin(A) \cdot 12}{7}\right)\]

Таким образом мы можем найти угол \(B\), противолежащий средней стороне треугольника.