Якого типу є кут А в трикутнику АВС, якщо відомо, що вершини трикутника розміщені в точках А (-2; -1), В (3; 1

Для определения типа угла А в треугольнике АВС, нам необходимо воспользоваться свойством, связанным с координатами вершин треугольника.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника АВС, используя формулу расстояния между двумя точками. Для этого учащийся может использовать следующую формулу:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты двух точек, а d - расстояние между ними.

Шаг 2: Вычислим длины сторон AB, AC и BC, используя данную формулу.

Для стороны AB:
\(d_{AB} = \sqrt{{(3 - (-2))^2 + (1 - (-1))^2}}\)
\(d_{AB} = \sqrt{{5^2 + 2^2}}\)
\(d_{AB} = \sqrt{{25 + 4}}\)
\(d_{AB} = \sqrt{{29}}\)

Для стороны AC:
\(d_{AC} = \sqrt{{(1 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2}}\)
\(d_{AC} = \sqrt{{3^2 + 6^2}}\)
\(d_{AC} = \sqrt{{9 + 36}}\)
\(d_{AC} = \sqrt{{45}}\)

Для стороны BC:
\(d_{BC} = \sqrt{{(1 - 3)^2 + (5 - 1)^2}}\)
\(d_{BC} = \sqrt{{(-2)^2 + 4^2}}\)
\(d_{BC} = \sqrt{{4 + 16}}\)
\(d_{BC} = \sqrt{{20}}\)

Шаг 3: Определим тип угла А, используя полученные значения длин сторон. По определению, треугольник является остроугольным, если каждый из его углов острый. Треугольник является тупоугольным, если один из его углов тупой. Треугольник является прямоугольным, если один из его углов прямой.

Для этого, будем использовать следующие формулы:
- Если \(d_{AB}^2 + d_{AC}^2 > d_{BC}^2\), то угол А острый.
- Если \(d_{AB}^2 + d_{AC}^2 < d_{BC}^2\), то угол А тупой.
- Если \(d_{AB}^2 + d_{AC}^2 = d_{BC}^2\), то угол А прямой.

Давайте вычислим значения выражений:

\(d_{AB}^2 + d_{AC}^2 = \sqrt{{29}}^2 + \sqrt{{45}}^2\)
\(d_{AB}^2 + d_{AC}^2 = 29 + 45 = 74\)

\(d_{BC}^2 = \sqrt{{20}}^2 = 20\)

Итак, \(d_{AB}^2 + d_{AC}^2 = d_{BC}^2\), что означает, что угол А является прямым.

Теперь перейдем ко второй части вопроса.

Мы должны найти модуль вектора DB, при условии, что BD равно _____________. Вектор DB - это разность координат векторов D и B.

Шаг 4: Найдем вектор DB:

\(DB = OB - OD\)

Где OB и OD - векторы, соединяющие точки O (начало осей координат), D и B соответственно.

\(DB = (x_B - x_D, y_B - y_D)\)

Для нашей задачи:

\(x_B = 3\), \(x_D = -2\), \(y_B = 1\), \(y_D = -1\)

Тогда:

\(DB = (3 - (-2), 1 - (-1))\)
\(DB = (5, 2)\)

Шаг 5: Найдем модуль вектора DB, используя формулу:

\(|DB| = \sqrt{{x^2 + y^2}}\)

Где x и y - координаты вектора DB.

Таким образом:

\(|DB| = \sqrt{{5^2 + 2^2}}\)
\(|DB| = \sqrt{{29}}\)

В итоге, модуль вектора DB равен \(\sqrt{{29}}\).

Итак, в максимально подробном и обстоятельном ответе мы вычислили тип угла А в треугольнике АВС, а также нашли модуль вектора DB. Угол А является прямым, а модуль вектора DB равен \(\sqrt{{29}}\).