Подтвердите верность или ложность следующих утверждений и обоснуйте свои ответы. а) Отношение х кратно у на множестве

а) Отношение "х кратно у" является рефлексивным на множестве натуральных чисел, так как каждое число является кратным самому себе. Допустим, у нас есть число \(x\), тогда оно кратно самому себе, так как делится на себя без остатка. Следовательно, отношение "х кратно у" удовлетворяет условию рефлексивности.

Отношение также является транзитивным. Допустим, у нас есть числа \(x\), \(y\) и \(z\) такие, что \(x\) кратно \(y\) и \(y\) кратно \(z\). Это значит, что существуют натуральные числа \(k\) и \(m\) такие, что \(x = ky\) и \(y = mz\). Подставляя значения \(y = mz\) в первое уравнение, получаем \(x = kmz\). То есть, \(x\) также кратно \(z\). Следовательно, отношение "х кратно у" удовлетворяет условию транзитивности.

б) Отношение "х кратно у" на множестве натуральных чисел не является антисимметричным и транзитивным. При антисимметричности мы должны иметь условие, что если \(x\) кратно \(y\), а \(y\) кратно \(x\), то \(x\) и \(y\) должны быть одинаковыми числами. Однако, в данном случае, существуют числа, которые могут быть кратными друг другу, но не равными. Например, число 4 кратно числу 2 (4 делится на 2 без остатка), и число 2 кратно числу 1 (2 делится на 1 без остатка), но 4 и 1 не равны. Следовательно, отношение "х кратно у" на множестве натуральных чисел не удовлетворяет условию антисимметричности.

отношение также не является транзитивным. Берем пример чисел 4, 2 и 1. Число 4 кратно числу 2 (4 делится на 2 без остатка), и число 2 кратно числу 1 (2 делится на 1 без остатка), но число 4 не кратно числу 1 (4 делится на 1 с остатком 3). Таким образом, отношение "х кратно у" на множестве натуральных чисел не удовлетворяет условию транзитивности.

в) Отношение "х кратно у" на множестве натуральных чисел не является отношением порядка. Для того чтобы отношение было отношением порядка, оно должно быть рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Мы уже выяснили, что отношение "х кратно у" рефлексивно и не антисимметрично. Теперь рассмотрим его транзитивность. Для этого возьмем числа 6, 3 и 2. Число 6 кратно числу 3 (6 делится на 3 без остатка), и число 3 кратно числу 2 (3 делится на 2 с остатком 1). Однако число 6 не кратно числу 2 (6 делится на 2 с остатком 2). Это означает, что отношение "х кратно у" не является транзитивным и, как следствие, не является отношением порядка на множестве натуральных чисел.

Таким образом, ответы на утверждения: а) Верно, б) Неверно, в) Неверно.