Подтвердите равенство sin2a-sin8a/cos2a-cos8a=-ctg5a

Конечно! Давайте пошагово решим данное равенство.

Исходное равенство: \(\frac{{\sin(2a) - \sin(8a)}}{{\cos(2a) - \cos(8a)}} = -\cot(5a)\)

Первым шагом, воспользуемся формулой разности синусов:

\(\sin(x) - \sin(y) = 2\cos\left(\frac{{x+y}}{2}\right)\sin\left(\frac{{x-y}}{2}\right)\)

Применим эту формулу к числителю:

\(\sin(2a) - \sin(8a) = 2\cos\left(\frac{{2a+8a}}{2}\right)\sin\left(\frac{{2a-8a}}{2}\right)\)

\(\sin(2a) - \sin(8a) = 2\cos(5a)(-\sin(3a))\)

Теперь заменим в знаменателе разность косинусов, используя формулу разности косинусов:

\(\cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{{x+y}}{2}\right)\sin\left(\frac{{x-y}}{2}\right)\)

Применим эту формулу к знаменателю:

\(\cos(2a) - \cos(8a) = -2\sin\left(\frac{{2a+8a}}{2}\right)\sin\left(\frac{{2a-8a}}{2}\right)\)

\(\cos(2a) - \cos(8a) = -2\sin(5a)(\sin(-3a))\)

Обратите внимание, что \(\sin(-3a) = -\sin(3a)\). Поэтому знаменатель можно представить как \(-2\sin(5a)(-\sin(3a)) = 2\sin(5a)\sin(3a)\).

Теперь заменим числитель и знаменатель в исходном равенстве:

\(\frac{{2\cos(5a)(-\sin(3a))}}{{2\sin(5a)\sin(3a)}} = -\cot(5a)\)

Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе:

\(\frac{{\cancel{2}\cos(5a)(-\sin(3a))}}{{\cancel{2}\sin(5a)\sin(3a)}} = -\cot(5a)\)

Упростим выражение в числителе:

\(\frac{{-\cos(5a)\sin(3a)}}{{\sin(5a)\sin(3a)}} = -\cot(5a)\)

Теперь сократим \(\sin(3a)\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{{-\cos(5a)\cancel{\sin(3a)}}}{{\sin(5a)\cancel{\sin(3a)}}} = -\cot(5a)\)

Окончательно получаем:

\(-\frac{{\cos(5a)}}{{\sin(5a)}} = -\cot(5a)\)

Последним шагом мы можем заметить, что \(\cot(x) = \frac{{\cos(x)}}{{\sin(x)}}\).

Таким образом, исходное равенство подтверждается:

\(-\cot(5a) = -\cot(5a)\)

Надеюсь, данное подробное решение помогло вам понять, как достигается данное равенство.