А) Докажите, что выражение x н = 3 + 2n является бесконечно возрастающим, используя определение бесконечно

Хорошо! Давайте решим вашу задачу step by step.

а) Вам нужно доказать, что выражение \(x_n = 3 + 2n\) является бесконечно возрастающим. Для этого воспользуемся определением бесконечно возрастающего выражения.

Определение: Выражение \(x_n\) называется бесконечно возрастающим, если для любых двух последовательных членов \(x_n\) и \(x_{n+1}\) выполняется неравенство \(x_n < x_{n+1}\).

Теперь покажем, что выражение \(x_n = 3 + 2n\) удовлетворяет этому определению. Для этого сравним два последовательных члена \(x_n\) и \(x_{n+1}\):

\[x_n = 3 + 2n\]
\[x_{n+1} = 3 + 2(n+1)\]

Мы должны показать, что \(x_n < x_{n+1}\). Для этого сравним правые части обоих выражений:

\[3 + 2n < 3 + 2(n+1)\]

Теперь выполним упрощения и сравним:

\[3 + 2n < 3 + 2n + 2\]
\[2n < 2n + 2\]

Нам дано, что \(n\) - это положительное число (так как это номер члена последовательности), поэтому \(2n < 2n + 2\) будет верным неравенством.

Таким образом, мы доказали, что \(x_n = 3 + 2n\) является бесконечно возрастающим выражением.

б) Теперь давайте найдем предельное значение \(x_n\) при \(n\), стремящемся к бесконечности.

Для этого рассмотрим предел выражения \(x_n\) при \(n\), стремящемся к бесконечности:

\[\lim_{{n\to\infty}} x_n = \lim_{{n\to\infty}} (3 + 2n)\]

Чтобы найти предел, нужно рассмотреть поведение \(x_n\) при больших значениях \(n\). Как видно из выражения \(x_n = 3 + 2n\), члены последовательности \(x_n\) будут расти, поскольку значение \(2n\) будет увеличиваться с ростом \(n\).

При \(n = 1000\), значение \(x_n\) будет равно:

\(x_{1000} = 3 + 2 \cdot 1000 = 3 + 2000 = 2003\)

Здесь вы можете заметить, что с увеличением значения \(n\), значение \(x_n\) будет становиться все больше и больше. В данном случае, предельное значение \(x_n\) будет равно положительной бесконечности.

Формально, мы можем записать предельное значение \(x_n\) так: \(\lim_{{n\to\infty}} (3 + 2n) = \infty\).

Таким образом, предельное значение \(x_n\) при \(n\), стремящемся к бесконечности, равно положительной бесконечности (\(\infty\)).

Надеюсь, что эти объяснения помогли вам понять задачу! Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.