Подтвердите равенство: 4/а2-4а - а2/4-а = а+4 + 16а+4/а2-4

Чтобы подтвердить равенство \(\frac{4}{a^2-4a} - \frac{a^2}{4-a} = a+4 + \frac{16a+4}{a^2-4}\), мы должны привести обе его стороны к общему знаменателю и проверить, будут ли они равны.

Для начала, давайте найдем общий знаменатель. В данном случае, он будет равен \(a^2-4a\) у первого слагаемого и \(4-a\) у второго слагаемого. Умножим каждое слагаемое на такие дополнительные выражения, чтобы получить общий знаменатель.

Первое слагаемое:
\(\frac{4}{a^2-4a} = \frac{4(4-a)}{(a^2-4a)(4-a)} = \frac{16-4a}{(a-4)(a-1)}\)

Второе слагаемое:
\(\frac{a^2}{4-a} = \frac{a^2(a-4)}{(4-a)(a-4)} = \frac{a^3-4a^2}{(a-4)(a-1)}\)

Теперь у нас есть:
\(\frac{16-4a}{(a-4)(a-1)} - \frac{a^3-4a^2}{(a-4)(a-1)} = a+4 + \frac{16a+4}{a^2-4}\)

Складываем дроби с общим знаменателем:
\(\frac{16-4a - (a^3-4a^2)}{(a-4)(a-1)} = a+4 + \frac{16a+4}{a^2-4}\)

Выполняем вычитание числителей и получаем:
\(\frac{16-4a-a^3+4a^2}{(a-4)(a-1)} = a+4 + \frac{16a+4}{a^2-4}\)

Приводим числитель к стандартному виду:
\((-a^3+4a^2-4a+16)\)

Теперь у нас имеется:
\(\frac{-a^3+4a^2-4a+16}{(a-4)(a-1)} = a+4 + \frac{16a+4}{a^2-4}\)

Теперь давайте посмотрим на правую часть. Сначала приведем дробь к общему знаменателю:
\(\frac{16a+4}{a^2-4} = \frac{4(4a+1)}{(a+2)(a-2)} = \frac{4(4a+1)}{(a+2)(a-2)}\)

Теперь мы получаем равенство:
\(\frac{-a^3+4a^2-4a+16}{(a-4)(a-1)} = a+4 + \frac{4(4a+1)}{(a+2)(a-2)}\)

Помним, что мы хотим подтвердить равенство. Для этого, обе стороны должны быть одинаковыми. Давайте проверим.

Сначала распределим числитель левого слагаемого:
\(-a^3+4a^2-4a+16 = -a^3+4a^2-4a+16\)

Теперь проверим знаменатель:
\((a-4)(a-1) = (a+2)(a-2)\)

Раскроем скобки:
\(a^2-5a+4 = a^2-4\)

Удалим общие слагаемые и получим:
\(-5a+4 = -4\)

А теперь упростим это выражение:
\(-5a = -8\)

Теперь разделим обе стороны на -5 и получим ответ:
\(a = \frac{8}{5}\)

Таким образом, подтверждаем, что равенство \(\frac{4}{a^2-4a} - \frac{a^2}{4-a} = a+4 + \frac{16a+4}{a^2-4}\) верно при \(a = \frac{8}{5}\).