Подтвердите, что четырехугольник, у которого вершинами являются середины сторон прямоугольника, является ромбом

Для того чтобы доказать, что четырехугольник, у которого вершинами являются середины сторон прямоугольника, является ромбом, нам необходимо проделать следующие шаги:

1. Обозначим вершины прямоугольника как \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), где \(ABCD\) - прямоугольник.

2. Пусть \(E\), \(F\), \(G\) и \(H\) - середины сторон прямоугольника, так что \(E\) - середина отрезка \(AB\), \(F\) - середина отрезка \(BC\), \(G\) - середина отрезка \(CD\) и \(H\) - середина отрезка \(DA\).

3. Докажем, что стороны четырехугольника \(EFGH\) равны между собой.

Для этого рассмотрим стороны прямоугольника:
- \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\) (свойство прямоугольника),
- \(BC \parallel AD\) и \(BC = AD\) (свойство прямоугольника).

Из свойств средней линии треугольника мы знаем, что сторона, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна половине ее.

Следовательно, в четырехугольнике \(EFGH\) стороны равны:
- \(EF = GH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD\),
- \(FG = HE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD\).

4. Теперь докажем, что углы четырехугольника \(EFGH\) равны между собой.

Выберем две стороны четырехугольника \(EFGH\): \(EF\) и \(FG\), и рассмотрим углы между ними. Так как стороны равны, а также параллельны и соответственны в прямоугольнике, то углы между ними равны. Аналогично доказывается равенство углов между остальными сторонами.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник, у которого вершинами являются середины сторон прямоугольника, является ромбом, так как у него равны как стороны, так и углы.