1) What is the result of the expression 7 - 3∙64^(1/6)? (1 point) 1) 8 2) -5 3) -17 4) 64 2) Simplify the expression

1) Чтобы найти результат выражения \(7 - 3\cdot 64^{1/6}\), давайте выполним операции по порядку. Сначала возведем 64 в степень \(1/6\).

\(64^{1/6} = 2\)

Теперь подставим этот результат обратно в исходное выражение:

\(7 - 3 \cdot 2\)

Далее, выполним умножение:

\(7 - 6\)

И, наконец, выполним вычитание:

\(1\)

Ответ: 1

2) В этой задаче нужно упростить выражение \(\frac{{11^{1.5}}}{{11^{0.3}}}\). Чтобы это сделать, давайте воспользуемся свойствами степеней.

Число вида \(a^b/a^c\) равно \(a^{b-c}\).

Таким образом, мы можем записать:

\(\frac{{11^{1.5}}}{{11^{0.3}}} = 11^{1.5 - 0.3}\)

Вычитая показатели степеней:

\(11^{1.2}\)

Ответ: 11^{1.2}

3) В этой задаче нужно упростить выражение \(2^{\log_2 3} + \log_7 2 - \log_7 14\).

Давайте рассмотрим каждую часть выражения по отдельности.

1. \(2^{\log_2 3}\) - это просто число 3, так как показатель степени \(\log_2 3\) означает, что 2 возводится в эту степень, чтобы получить 3.

2. \(\log_7 2\) - это показатель степени, в которую нужно возвести 7, чтобы получить 2.

3. \(\log_7 14\) - это показатель степени, в которую нужно возвести 7, чтобы получить 14.

Теперь, зная значения каждой части, мы можем заменить их в исходном выражении:

\(3 + \log_7 2 - \log_7 14\)

Итак, получаем:

\(3 + \log_7 \frac{2}{14}\)

Упростим выражение \(\frac{2}{14}\):

\(3 + \log_7 \frac{1}{7}\)

Когда мы делим 2 на 14, получаем 1/7.

Итак, ответ:

\(3 + \log_7 \frac{1}{7}\)

Ответ: \(3 + \log_7 \frac{1}{7}\)

4) Для нахождения значения \(\cos \alpha\), нужно знать значение \(\sin \alpha\) и ограничения угла \(\alpha\).

Дано, что \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\).

Мы можем использовать тригонометрическую тождество, чтобы найти значение \(\cos \alpha\):

\(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\)

Подставим в данное тождество значение \(\sin \alpha\) и выразим \(\cos \alpha\):

\(\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2\)
\(\cos^2 \alpha = 1 - \frac{2}{9}\)
\(\cos^2 \alpha = \frac{7}{9}\)

Извлекая квадратный корень, получаем:

\(\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}\)

Так как \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), значит угол \(\alpha\) лежит в первой четверти, где \(\cos \alpha\) положительное.

Ответ: \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}\)

5) В этой задаче нужно упростить выражение \(-3\sin(2\alpha) - 6 - 3\cos(2\alpha)\). Для этого нам понадобятся известные тригонометрические формулы:

\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\) и \(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\)

Теперь давайте подставим эти формулы в исходное выражение и упростим:

\(-3\sin(2\alpha) - 6 - 3\cos(2\alpha) = -3\cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 6 - 3(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))\)

Раскроем скобки и упростим:

\(-6\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 6 - 3\cos^2(\alpha) + 3\sin^2(\alpha)\)

Используя формулу \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\), упростим дальше:

\(-6\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 6 - 3(1 - \cos^2(\alpha)) + 3\sin^2(\alpha)\)

\(-6\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 6 - 3 + 3\cos^2(\alpha) + 3\sin^2(\alpha)\)

Теперь объединим подобные слагаемые:

\(3\cos^2(\alpha) + 3\sin^2(\alpha) - 6\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 9\)

Так как \(3\cos^2(\alpha) + 3\sin^2(\alpha)\) равняется \(3(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha))\), то по формуле \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\), получаем:

\(3 - 6\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 9\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(-6\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 6\)

Ответ: \(-6\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 6\)

6) Для определения интервала, к которому относится корень уравнения \(\sqrt{125-4x^2} = -x\), давайте решим его.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(125 - 4x^2 = x^2\)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\(125 = 5x^2\)

Разделим обе части на 5:

\(25 = x^2\)

Извлекаем квадратный корень:

\(5 = |x|\)

Так как указано, что корень принадлежит определенному интервалу, мы можем сделать вывод, что:

\(x = 5\)

Таким образом, корень уравнения \(\sqrt{125-4x^2} = -x\) принадлежит интервалу [5; 5].

Ответ: [5; 5]