Под какими условиями может быть сказано, что четырехугольник ABCD, у которого диагонали пересекаются в точке

Для того чтобы определить, является ли четырехугольник ABCD параллелограммом, мы должны рассмотреть каждое условие по отдельности:

1) Сторона AB равна стороне CD, стороны BC и AD параллельны:
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, если сторона AB равна стороне CD, а стороны BC и AD параллельны, то мы можем сказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2) Сторона AO равна стороне OC, стороны AB и CD параллельны:
Это условие недостаточно для того, чтобы утверждать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм. Равные стороны AO и OC говорят лишь о равенстве длин диагоналей, но не дают нам информации о параллельности сторон AB и CD.

3) Сторона AO равна стороне OC, сторона AD равна стороне BC:
По данному условию мы также не можем однозначно утверждать, что ABCD - параллелограмм. Равенство диагоналей AO и OC и равенство сторон AD и BC только подразумевают симметричность относительно прямой OC, но не дают нам информации о параллельности сторон AB и CD.

4) Сторона AO равна стороне OC, угол ABC равен углу CDA:
Это условие позволяет нам сказать, что ABCD - параллелограмм. Равные стороны AO и OC говорят о равенстве длин диагоналей, а равные углы ABC и CDA свидетельствуют о том, что эти диагонали пересекаются под прямым углом в точке O. Оба этих условия удовлетворяют определению параллелограмма.

Таким образом, чтобы утверждать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо и достаточно выполнение условия номер 4) - сторона AO равна стороне OC, а угол ABC равен углу CDA.