Яка довжина перпендикуляра OC, проведеного з центра кола O до хорди AB, яка має довжину 10 см, якщо кут OBA дорівнює

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства перпендикуляров в окружности.

Первым шагом найдем расстояние от центра окружности O до хорды AB. Для этого мы можем использовать теорему синусов для треугольника OAB.

У нас есть две стороны и угол между ними. Стороны AO и BO равны радиусу окружности, так как O - центр окружности. Позначим радиус как r.

Теперь мы можем записать уравнение теоремы синусов:

\(\frac{{AB}}{{\sin OBA}} = \frac{{AO}}{{\sin AOB}}\)

Поскольку у нас известны только длина хорды AB и угол OBA, нам нужно найти угол AOB.

Поскольку OBA - 45-градусный угол, AOB - это сумма угла OBA и угла OAB. Так как хорда AB - это диаметр окружности, угол OAB равен 90 градусов.

Теперь мы можем заменить известные значения в уравнении:

\(\frac{{10}}{{\sin 45^{\circ}}} = \frac{{r}}{{\sin 90^{\circ}}}\)

Синус 45 градусов составляет \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\), а синус 90 градусов равен 1:

\(\frac{{10}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}}} = r\)

\(\frac{{10 \cdot 2}}{{\sqrt{2}}} = r\)

\(\frac{{20}}{{\sqrt{2}}} = r\)

Чтобы найти длину перпендикуляра OC, нам нужно умножить радиус окружности на синус угла OBA:

\(OC = r \cdot \cos OBA = \frac{{20}}{{\sqrt{2}}} \cdot \cos 45^{\circ}\)

Косинус 45 градусов также составляет \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\):

\(OC = \frac{{20}}{{\sqrt{2}}} \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\)

Сокращая \(\sqrt{2}\):

\(OC = \frac{{20 \cdot 1}}{{2}} = 10\)

Таким образом, длина перпендикуляра OC равна 10 см.