Под каким значением а прямая y=7x-2 пересекает график функции y=ax^2+x+1 ? а) 1 б) 3

Чтобы найти точку пересечения между прямой \(y = 7x - 2\) и графиком функции \(y = ax^2 + x + 1\), нужно приравнять значения функций и решить полученное уравнение для неизвестной переменной \(x\). Давайте начнем с подстановки значения функции прямой вместо \(y\) в уравнение функции:

\[7x - 2 = ax^2 + x + 1\]

Теперь мы можем упорядочить это уравнение, чтобы найти его корни. Перенесем все члены уравнения влево:

\[ax^2 - 6x - 3 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = a\), \(b = -6\) и \(c = -3\). Чтобы найти значения \(x\), применим квадратную формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставляем известные значения:

\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4a(-3)}}{2a}\]

Упрощаем выражение:

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12a}}{2a}\]

Теперь мы имеем два возможных значения для \(x\), которые пересекают графики этих функций. Давайте подставим значение \(x\) в уравнение прямой \(y = 7x - 2\), чтобы найти соответствующее значение \(y\).

Для \(x = \frac{6 + \sqrt{36 + 12a}}{2a}\):

\[y = 7\left(\frac{6 + \sqrt{36 + 12a}}{2a}\right) - 2\]

Упрощаем выражение:

\[y = \frac{42 + 7\sqrt{36 + 12a}}{2a} - 2\]

Для \(x = \frac{6 - \sqrt{36 + 12a}}{2a}\):

\[y = 7\left(\frac{6 - \sqrt{36 + 12a}}{2a}\right) - 2\]

Упрощаем выражение:

\[y = \frac{42 - 7\sqrt{36 + 12a}}{2a} - 2\]

Таким образом, прямая \(y = 7x - 2\) пересекает график функции \(y = ax^2 + x + 1\) в двух точках с координатами \(\left(\frac{6 + \sqrt{36 + 12a}}{2a}, \frac{42 + 7\sqrt{36 + 12a}}{2a} - 2\right)\) и \(\left(\frac{6 - \sqrt{36 + 12a}}{2a}, \frac{42 - 7\sqrt{36 + 12a}}{2a} - 2\right)\).

Теперь, чтобы определить, под каким значением \(a\) эти точки соответствуют ответам (а) или (б), подставим значения \(a = 1\) и \(a = 3\) в полученные выражения и упростим их:

Для \(a = 1\):

\(\left(\frac{6 + \sqrt{36 + 12 \cdot 1}}{2 \cdot 1}, \frac{42 + 7\sqrt{36 + 12 \cdot 1}}{2 \cdot 1} - 2\right)\)

\(\left(\frac{6 + \sqrt{48}}{2}, \frac{42 + 7\sqrt{48}}{2} - 2\right)\)

\(\left(\frac{6 + \sqrt{16 \cdot 3}}{2}, \frac{42 + 7\sqrt{16 \cdot 3}}{2} - 2\right)\)

\(\left(\frac{6 + 4\sqrt{3}}{2}, \frac{42 + 4 \cdot 7 \sqrt{3}}{2} - 2\right)\)

\(\left(3 + 2\sqrt{3}, 21 + 14\sqrt{3} - 2\right)\)

\(\left(3 + 2\sqrt{3}, 19 + 14\sqrt{3}\right)\)

Для \(a = 3\):

\(\left(\frac{6 + \sqrt{36 + 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}, \frac{42 + 7\sqrt{36 + 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3} - 2\right)\)

\(\left(\frac{6 + \sqrt{72}}{6}, \frac{42 + 7\sqrt{72}}{6} - 2\right)\)

\(\left(\frac{6 + \sqrt{36 \cdot 2}}{6}, \frac{42 + 7\sqrt{36 \cdot 2}}{6} - 2\right)\)

\(\left(\frac{6 + 6\sqrt{2}}{6}, \frac{42 + 6 \cdot 7 \sqrt{2}}{6} - 2\right)\)

\(\left(1 + \sqrt{2}, 7 + 7\sqrt{2} - 2\right)\)