Побудуйте графік функції y=x²-2x-3 і з використанням графіку знайдіть: 1) Множину розв язків нерівності x²-2x-3≥0

Щоб побудувати графік функції \(y=x^2-2x-3\), спочатку знайдемо точки, які належать цій функції. Це можна зробити, знаходячи значення функції для різних значень \(x\). Потім ми використаємо ці точки для побудови графіка.

1) Розв"язок нерівності \(x^2-2x-3\geq0\) можна знайти, аналізуючи точки, де графік функції перетинає ось \(x\) (тобто рівність \(y=0\)). Для цього знайдемо значення \(x\), щоб \(y=0\):

\[x^2-2x-3=0\]

Щоб розв"язати це рівняння, можна скористатися формулою дискримінанту: \(D=b^2-4ac\), де \(a\), \(b\) і \(c\) - коефіцієнти рівняння. У нашому випадку \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-3\). Обчислимо дискримінант:

\[D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16\]

Отримали додатне значення дискримінанту, тому рівняння має два різних розв"язки. Використаємо формули розв"язків рівняння:

\[x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot1}=\frac{2+4}{2}=3\]

\[x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot1}=\frac{2-4}{2}=-1\]

Таким чином, ми отримали два значення \(x\), де \(y=0\): \(x_1=3\) і \(x_2=-1\). Графік функції перетинає ось \(x\) в цих точках.

Щоб визначити, коли функція \(y=x^2-2x-3\) більша або рівна нулю, розглянемо значення функції між цими двома точками та за їх межами. Ми можемо вибрати довільний тестовий значення \(x\) з трьох діапазонів: \(x<-1\), \(-13\). Підставимо ці значення в нерівність \(x^2-2x-3\geq0\) і перевіримо, яке значення отримаємо.

- При \(x=-2\) отримаємо: \((-2)^2-2(-2)-3=4+4-3=5\) (позитивне значення)
- При \(x=0\) отримаємо: \(0^2-2(0)-3=-3\) (від"ємне значення)
- При \(x=4\) отримаємо: \(4^2-2(4)-3=16-8-3=5\) (позитивне значення)

Таким чином, ми бачимо, що функція \(y=x^2-2x-3\) є позитивною, коли \(x<-1\) або \(x>3\), а при \(-1
2) Щоб знайти проміжок, на якому функція \(y=x^2-2x-3\) спадає, потрібно знайти інтервал, де похідна функції менше нуля. Візьмемо похідну і прирівняємо її до нуля.
\[y"=2x-2\]
\[2x-2=0\]
\[2x=2\]
\[x=1\]

Таким чином, точка перегину графіка розташована в \(x=1\). Тепер дослідимо знак похідної для різних значень \(x\):

- При \(x<1\) отримаємо: \(2x-2<2\cdot1-2=0\) (від"ємне значення)
- При \(x>1\) отримаємо: \(2x-2>2\cdot1-2=0\) (позитивне значення)

Отже, функція \(y=x^2-2x-3\) спадає на проміжку \((-\infty,1)\).

Отже, відповіді на задачу:

1) Множина розв"язків нерівності \(x^2-2x-3\geq0\) є \((- \infty, -1] \cup [3, +\infty)\).

2) Функція \(y=x^2-2x-3\) спадає на проміжку \((-\infty,1)\).