Чему равно выражение ctg^2 a*cos^2 a+cos^2 a- ctg^2 a, если a=π/3?

Давайте решим данное выражение шаг за шагом. У нас есть следующее выражение: \(\text{ctg}^2 a \cdot \cos^2 a + \cos^2 a - \text{ctg}^2 a\), где \(a = \frac{\pi}{3}\).

Первым шагом заменим значение \(a\) в данном выражении:
\(\text{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Теперь, давайте посчитаем значение \(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\). Мы знаем, что \(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\). Заменим это значение в выражении:
\(\text{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \text{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Упростим каждую часть выражения по очереди:
\(\text{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \text{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Теперь заменим значение \(\text{ctg} \left(\frac{\pi}{3}\right)\). Мы знаем, что \(\text{ctg} \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Заменим это значение в выражении:
\(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\).

Выполнив простые вычисления, получим:
\(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}\).

Упростим дроби:
\(\frac{1}{12} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}\).

Общим знаменателем для этих дробей будет 12. Переведем все дроби к общему знаменателю:
\(\frac{1}{12} + \frac{3}{12} - \frac{4}{12}\).

Сложим числители, при этом знаменатель останется прежним:
\(\frac{1 + 3 - 4}{12}\).

Далее, просто вычислим числитель:
\(\frac{0}{12}\).

Итак, ответ на данную задачу равен \(0\).

Надеюсь, данное решение помогло вам лучше понять, как получить результат для данного выражения с пошаговым объяснением. Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!