Как раскрыть выражение (1+x)^5 по различным степеням x? Как возвести трехчлен a+b+c в кубическую степень?

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами!

1. Раскрытие выражения \((1+x)^5\) по различным степеням x:
Для раскрытия данного выражения, мы можем использовать бином Ньютона. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:
\((a+b)^n = C(n,0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n,1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n,2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C(n,n-1) \cdot a^1 \cdot b^{n-1} + C(n,n) \cdot a^0 \cdot b^n\),
где \(C(n,k)\) - биномиальный коэффициент, который равен количеству комбинаций из \(n\) элементов, выбираемых \(k\) элементов в каждой.

Теперь, применим эту формулу к нашему выражению:
\((1+x)^5 = C(5,0) \cdot 1^5 \cdot x^0 + C(5,1) \cdot 1^4 \cdot x^1 + C(5,2) \cdot 1^3 \cdot x^2 + C(5,3) \cdot 1^2 \cdot x^3 + C(5,4) \cdot 1^1 \cdot x^4 + C(5,5) \cdot 1^0 \cdot x^5\).

Вычислим значения биномиальных коэффициентов:
\(C(5,0) = 1\),
\(C(5,1) = 5\),
\(C(5,2) = 10\),
\(C(5,3) = 10\),
\(C(5,4) = 5\),
\(C(5,5) = 1\).

Теперь, подставим значения в наше выражение:
\((1+x)^5 = 1 \cdot 1^5 \cdot x^0 + 5 \cdot 1^4 \cdot x^1 + 10 \cdot 1^3 \cdot x^2 + 10 \cdot 1^2 \cdot x^3 + 5 \cdot 1^1 \cdot x^4 + 1 \cdot 1^0 \cdot x^5\).

Упрощая каждое слагаемое, получим:
\((1+x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5\).

Таким образом, выражение \((1+x)^5\) раскрывается по различным степеням x в виде: \(1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5\).

2. Возведение трехчлена \(a+b+c\) в кубическую степень:
Для возведения трехчлена в кубическую степень, мы должны применить формулу трехчлена в степени \(n\), которая имеет вид:
\((a+b+c)^n = C(n,0) \cdot a^n \cdot b^0 \cdot c^0 + C(n,1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 \cdot c^0 + C(n,2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 \cdot c^0 + \ldots + C(n,n-1) \cdot a^1 \cdot b^{n-1} \cdot c^0 + C(n,n) \cdot a^0 \cdot b^n \cdot c^0\).

Теперь, применим эту формулу к нашему трехчлену:
\((a+b+c)^3 = C(3,0) \cdot a^3 \cdot b^0 \cdot c^0 + C(3,1) \cdot a^2 \cdot b^1 \cdot c^0 + C(3,2) \cdot a^1 \cdot b^2 \cdot c^0 + C(3,3) \cdot a^0 \cdot b^3 \cdot c^0\).

Вычислим значения биномиальных коэффициентов:
\(C(3,0) = 1\),
\(C(3,1) = 3\),
\(C(3,2) = 3\),
\(C(3,3) = 1\).

Теперь, подставим значения в наше выражение:
\((a+b+c)^3 = 1 \cdot a^3 \cdot b^0 \cdot c^0 + 3 \cdot a^2 \cdot b^1 \cdot c^0 + 3 \cdot a^1 \cdot b^2 \cdot c^0 + 1 \cdot a^0 \cdot b^3 \cdot c^0\).

Упрощая каждое слагаемое, получим:
\((a+b+c)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).

Таким образом, трехчлен \(a+b+c\) в кубической степени равен \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).