Плоскости α и β параллельны. Через точку d, расположенную между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна

Для решения данной задачи нам потребуется использовать геометрические свойства параллельных плоскостей и прямых.

Поскольку плоскости α и β параллельны, то прямые, проведенные через точку d, будут пересекать эти плоскости под одинаковым углом.
Дано, что отрезок n₁m₁ равен 30 см, а отрезок dn₁ равен x см (неизвестная длина).
Также известно, что отрезок m₁m₂ длиннее отрезка n₁n₂ на 8 см.

Обозначим \(m\) - точку пересечения прямой, проходящей через точки \(d\) и \(m₁\), с плоскостью \(α\). Аналогично, обозначим \(n\) - точку пересечения прямой, проходящей через точки \(d\) и \(n₁\), с плоскостью \(α\).

Так как прямая, проходящая через точки \(m₁\) и \(n₁\), пересекает плоскости \(α\) и \(β\), то точки \(m₁\), \(m\) и \(n\) находятся на одной прямой в плоскости \(α\). Аналогичное верно и для прямой, проходящей через точки \(m₂\) и \(n₂\) в плоскости \(β\).

Из данной информации следует, что треугольники \(m₁mn\) и \(m₂mn\) подобны, так как углы при вершинах \(m\) и \(n\) равны, а углы при вершинах \(m₁\) и \(m₂\) соответственно равны, поскольку данные треугольники подобны, их соответствующие стороны пропорциональны.

Обозначим длину отрезка \(m₁m₂\) через \(L\). Тогда \(n₁n₂ = L - 8\) (так как отрезок \(m₁m₂\) длиннее отрезка \(n₁n₂\) на 8 см).

Теперь мы можем составить пропорцию между сторонами треугольников \(m₁mn\) и \(m₂mn\):

\[\frac{{m₁n}}{{n₁n}} = \frac{{m₂n}}{{n₁n₂}}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{{30}}{{x}} = \frac{{L}}{{L - 8}}\]

Теперь решим эту пропорцию:

\[L(30) - L(-8) = 30(L - 8)\]
\[30L + 8L - 240 = 30L - 240\]
\[38L = 0\]
\[L = 0\]

Получили, что длина отрезка \(m₁m₂\) равна 0. Однако, у нас ошибка в решении, поскольку не учли данные из условия задачи.

Проверим исходную пропорцию:

\[\frac{{30}}{{x}} = \frac{{L}}{{L - 8}}\]

Подставим значение \(L\), равное 0:

\[\frac{{30}}{{x}} = \frac{{0}}{{0 - 8}}\]

Очевидно, что данное уравнение не имеет смысла, поскольку в знаменателе находится ноль.

Таким образом, задача решения не имеет, и мы не можем найти длину отрезка \(m₁m₂\) на основе предоставленных данных. Возможно, что в условии была допущена ошибка или что-то важное было пропущено. Для полного решения задачи требуется дополнительная информация.