Перестройте график функции y=x^2-6x+9 и найдите следующую информацию: 1) какое значение имеет y при x=0,5? 2) какое

Хорошо, давайте начнем с построения графика функции $y=x^2-6x+9$.

Для начала, давайте найдем вершину параболы. Функция $y=x^2-6x+9$ представлена в виде квадратного трехчлена. Если мы хотим найти вершину параболы для данной функции, мы можем воспользоваться формулой $x=-\frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ - коэффициенты перед $x$ в квадратном трехчлене.

В данном случае, $a=1$ и $b=-6$. Подставим их в формулу, чтобы найти координату $x$ вершины параболы:

$$x=-\frac{(-6)}{2(1)}=-\frac{-6}{2}=3.$$

Теперь, чтобы найти соответствующее значение $y$, мы можем подставить найденное значение $x$ обратно в исходное уравнение:

$$y=(3{)}^2-6(3)+9=9-18+9=0.$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, 0).

Теперь перейдем к первому вопросу: какое значение имеет $y$ при $x=0.5$? Чтобы найти это значение, мы можем подставить $x=0.5$ в исходное уравнение и рассчитать $y$:

$$y=(0.5{)}^2-6(0.5)+9=0.25-3+9=6.25.$$

Таким образом, при $x=0.5$ значение $y$ равно 6.25.

Далее, второй вопрос: какое значение имеет $x$ при $y=2$? Чтобы найти это значение, мы можем подставить $y=2$ в исходное уравнение и решить его относительно $x$:

$$2=x^2-6x+9.$$

Для решения этого уравнения, мы можем привести его к квадратному виду, вычитая 2 с обеих сторон и получая:

$$x^2-6x+7=0.$$

Далее, мы можем решить это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта $D=b^2-4ac$, где $a=1$, $b=-6$ и $c=7$:

$$D=(-6{)}^2-4(1)(7)=36-28=8.$$

Поскольку дискриминант $D$ положительный, уравнение имеет два корня. Чтобы найти их, мы можем использовать формулу корней:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставив значения, мы получаем:

$$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{8}}{2(1)}=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}.$$

Разделим это на два корня:

$$x_1=\frac{6+2\sqrt{2}}{2}=3+\sqrt{2},$$
$$x_2=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2}.$$

Таким образом, при $y=2$ значения $x$ равны $3+\sqrt{2}$ и $3-\sqrt{2}$.

Перейдем к третьему вопросу: где находятся корни функции? Мы только что нашли корни $x_1=3+\sqrt{2}$ и $x_2=3-\sqrt{2}$. Они представляют собой точки пересечения графика функции $y=x^2-6x+9$ с осью $x$. Геометрически, это две точки на графике, где $y$ равно нулю.

Наконец, к четвертому вопросу: в каких интервалах $y>0$ и $y<0$? Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем проанализировать дискриминант $D$ уравнения $x^2-6x+7=0$. Мы уже вычислили $D$ ранее, и он равен 8. Поскольку $D>0$, это означает, что квадратное уравнение имеет два различных корня. То есть, функция $y=x^2-6x+9$ будет положительной между этими двумя точками.

Мы можем использовать найденные значения корней $x_1$ и $x_2$ для определения интервалов, на которых $y>0$ и $y<0$:

Когда $y>0$, $x$ будет лежать в интервалах $(-\mathrm{\infty },3-\sqrt{2})$ и $(3+\sqrt{2},+\mathrm{\infty })$.

Когда $y<0$, $x$ будет лежать в интервале $(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2})$.

Таким образом, график функции $y=x^2-6x+9$ будет лежать выше оси $x$ в интервалах $(-\mathrm{\infty },3-\sqrt{2})$ и $(3+\sqrt{2},+\mathrm{\infty })$, и будет лежать ниже оси $x$ в интервале $(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2})$.