Перестройте график функции y=x^2-6x+9 и найдите следующую информацию: 1) какое значение имеет y при x=0,5? 2) какое

Хорошо, давайте начнем с построения графика функции \(y = x^2 - 6x + 9\).

Для начала, давайте найдем вершину параболы. Функция \(y = x^2 - 6x + 9\) представлена в виде квадратного трехчлена. Если мы хотим найти вершину параболы для данной функции, мы можем воспользоваться формулой \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты перед \(x\) в квадратном трехчлене.

В данном случае, \(a = 1\) и \(b = -6\). Подставим их в формулу, чтобы найти координату \(x\) вершины параболы:

\[x = -\frac{(-6)}{2(1)} = -\frac{-6}{2} = 3.\]

Теперь, чтобы найти соответствующее значение \(y\), мы можем подставить найденное значение \(x\) обратно в исходное уравнение:

\[y = (3)^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0.\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, 0).

Теперь перейдем к первому вопросу: какое значение имеет \(y\) при \(x = 0.5\)? Чтобы найти это значение, мы можем подставить \(x = 0.5\) в исходное уравнение и рассчитать \(y\):

\[y = (0.5)^2 - 6(0.5) + 9 = 0.25 - 3 + 9 = 6.25.\]

Таким образом, при \(x = 0.5\) значение \(y\) равно 6.25.

Далее, второй вопрос: какое значение имеет \(x\) при \(y = 2\)? Чтобы найти это значение, мы можем подставить \(y = 2\) в исходное уравнение и решить его относительно \(x\):

\[2 = x^2 - 6x + 9.\]

Для решения этого уравнения, мы можем привести его к квадратному виду, вычитая 2 с обеих сторон и получая:

\[x^2 - 6x + 7 = 0.\]

Далее, мы можем решить это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 7\):

\[D = (-6)^2 - 4(1)(7) = 36 - 28 = 8.\]

Поскольку дискриминант \(D\) положительный, уравнение имеет два корня. Чтобы найти их, мы можем использовать формулу корней:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставив значения, мы получаем:

\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{8}}{2(1)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2}.\]

Разделим это на два корня:

\[x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{2},\]
\[x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2}.\]

Таким образом, при \(y = 2\) значения \(x\) равны \(3 + \sqrt{2}\) и \(3 - \sqrt{2}\).

Перейдем к третьему вопросу: где находятся корни функции? Мы только что нашли корни \(x_1 = 3 + \sqrt{2}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{2}\). Они представляют собой точки пересечения графика функции \(y = x^2 - 6x + 9\) с осью \(x\). Геометрически, это две точки на графике, где \(y\) равно нулю.

Наконец, к четвертому вопросу: в каких интервалах \(y > 0\) и \(y < 0\)? Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем проанализировать дискриминант \(D\) уравнения \(x^2 - 6x + 7 = 0\). Мы уже вычислили \(D\) ранее, и он равен 8. Поскольку \(D > 0\), это означает, что квадратное уравнение имеет два различных корня. То есть, функция \(y = x^2 - 6x + 9\) будет положительной между этими двумя точками.

Мы можем использовать найденные значения корней \(x_1\) и \(x_2\) для определения интервалов, на которых \(y > 0\) и \(y < 0\):

Когда \(y > 0\), \(x\) будет лежать в интервалах \((-\infty, 3 - \sqrt{2})\) и \((3 + \sqrt{2}, +\infty)\).

Когда \(y < 0\), \(x\) будет лежать в интервале \((3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2})\).

Таким образом, график функции \(y = x^2 - 6x + 9\) будет лежать выше оси \(x\) в интервалах \((-\infty, 3 - \sqrt{2})\) и \((3 + \sqrt{2}, +\infty)\), и будет лежать ниже оси \(x\) в интервале \((3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2})\).