Переставьте задачу ии поставьте вопросы в следующем формате: а) Какая степень многочлена (2х³-4х+3)²+(х⁵-х+1)⁶? б) Чему

а) В данной задаче мы имеем два многочлена: (2х³-4х+3)² и (х⁵-х+1)⁶. Чтобы найти степень суммы этих многочленов, нужно сложить их и определить наивысшую степень получившегося многочлена. Давайте выполним сложение:

\((2х³-4х+3)² + (х⁵-х+1)⁶\)

Для выполнения возведения в квадрат первого многочлена, умножим его на самого себя:

\((2х³-4х+3)² = (2х³-4х+3) \cdot (2х³-4х+3)\)

Применим формулу квадрата суммы:

\((a+b)² = a² + 2ab + b²\)

Применяя эту формулу, получим:

\((2х³-4х+3)² = (2х³)² + 2 \cdot (2х³) \cdot (-4х) + (-4х)² + 2 \cdot (2х³) \cdot 3 + 2 \cdot (-4х) \cdot 3 + 3²\)

\(= 4х⁶ - 16х⁴ + 12х³ + 12х³ - 24х² + 9\)

\(= 4х⁶ - 16х⁴ + 24х³ - 24х² + 9\)

Теперь рассмотрим второй многочлен (х⁵-х+1)⁶:

\((х⁵-х+1)⁶ = (х⁵-х+1) \cdot (х⁵-х+1) \cdot (х⁵-х+1) \cdot (х⁵-х+1) \cdot (х⁵-х+1) \cdot (х⁵-х+1)\)

Используя формулу шестой степени суммы, получим:

\((х⁵-х+1)⁶ = (х⁵)⁶ + 6 \cdot (х⁵)⁵ \cdot (-х) + 15 \cdot (х⁵)⁴ \cdot (-х)² + 20 \cdot (х⁵)³ \cdot (-х)³ + 15 \cdot (х⁵)² \cdot (-х)⁴ + 6 \cdot (х⁵) \cdot (-х)⁵ + (-х)⁶ + 6 \cdot (х⁵)⁵ + 15 \cdot (х⁵)⁴ \cdot (-х) + 20 \cdot (х⁵)³ \cdot (-х)² + 15 \cdot (х⁵)² \cdot (-х)⁴ + 6 \cdot (х⁵) \cdot (-х)⁵ + (-х)⁶ + 15 \cdot (х⁵)⁴ + 20 \cdot (х⁵)³ \cdot (-х) + 15 \cdot (х⁵)² \cdot (-х)² + 6 \cdot (х⁵) \cdot (-х)⁴ + (-х)⁶ + 20 \cdot (х⁵)³ + 15 \cdot (х⁵)² \cdot (-х) + 6 \cdot (х⁵) \cdot (-х)² + (-х)⁶ + 15 \cdot (х⁵)² + 6 \cdot (х⁵) \cdot (-х) + (-х)⁶ + 6 \cdot (х⁵) + (-х)⁶\)

\(= х³⁰ - 6х²⁵ + 15х²⁴ - 20х²³ + 15х²² - 6х²¹ + х²⁰ - 6х²⁵ + 36х²⁴ - 90х²³ + 120х²² - 90х²¹ + 36х²⁰ - 6х²⁵ + 90х²⁴ - 360х²³ + 540х²² - 360х²¹ + 90х²⁰ + 15х²⁴ - 90х²³ + 180х²² - 180х²³ + 90х²² + 15х²⁴ - 60х²³ + 90х²² - 60х²¹ + 15х²⁴ - 60х²³ + 90х²² - 60х²¹ + 15х²⁴ - 60х²³ + 90х²² - 60х²¹ + 15х²⁴ - 6х²³ + 36х²² - 90х²¹ + 120х²⁰ - 90х²³ + 36х²² - 6х²¹ + х²⁰\)

\(= х³⁰ - 6х²⁵ + 15х²⁴ - 20х²³ + 15х²² - 6х²¹ + х²⁰ - 6х²⁵ + 36х²⁴ - 90х²³ + 120х²² - 90х²¹ + 36х²⁰ - 6х²⁵ + 90х²⁴ - 360х²³ + 540х²² - 360х²¹ + 90х²⁰ + 15х²⁴ - 150х²³ + 270х²² - 150х²¹ + 15х²⁴ - 120х²³ + 270х²² - 120х²¹ + 15х²⁴ - 60х²³ + 270х²² - 60х²¹ + 15х²⁴ - 60х²³ + 270х²² - 60х²¹ + 15х²⁴ - 6х²³ + 120х²² - 90х²¹ + 120х²⁰ - 90х²³ + 36х²² - 6х²¹ + х²⁰\)

Теперь сложим эти два многочлена:

\(4х⁶ - 16х⁴ + 24х³ - 24х² + 9 + х³⁰ - 6х²⁵ + 15х²⁴ - 20х²³ + 15х²² - 6х²¹ + х²⁰ - 6х²⁵ + 36х²⁴ - 90х²³ + 120х²² - 90х²¹ + 36х²⁰ - 6х²⁵ + 90х²⁴ - 360х²³ + 540х²² - 360х²¹ + 90х²⁰ + 15х²⁴ - 150х²³ + 270х²² - 150х²¹ + 15х²⁴ - 120х²³ + 270х²² - 120х²¹ + 15х²⁴ - 60х²³ + 270х²² - 60х²¹ + 15х²⁴ - 60х²³ + 270х²² - 60х²¹ + 15х²⁴ - 6х²³ + 120х²² - 90х²¹ + 120х²⁰ - 90х²³ + 36х²² - 6х²¹ + х²⁰\)

Собрав одночлены с одинаковыми степенями, получим многочлен:

\(х³⁰ - 6х²⁵ - 120х²³ + 845х²² - 450х²¹ + 120х²⁰ - 4х⁶ - 16х⁴ + 60х³ - 120х² + 9\)

Рассмотрим степень получившегося многочлена. Наибольшая степень равна 30, поэтому ответом на задачу а) является степень многочлена (2х³-4х+3)²+(х⁵-х+1)⁶, равная 30.

б) Для определения старшего коэффициента и свободного члена многочлена, нужно рассмотреть его разложение на одночлены. В получившемся многочлене:

\(х³⁰ - 6х²⁵ - 120х²³ + 845х²² - 450х²¹ + 120х²⁰ - 4х⁶ - 16х⁴ + 60х³ - 120х² + 9\)

Старший коэффициент - это коэффициент при наибольшей степени многочлена. В данном случае, старшим коэффициентом является коэффициент перед \(х³⁰\), который равен 1.

Свободный член - это коэффициент при нулевой степени \(х\). В данном случае, свободным членом является последний член многочлена, равный 9.

Ответ на задачу б) состоит в следующем: старший коэффициент данного многочлена равен 1, а свободный член равен 9.

c) Чтобы найти сумму всех коэффициентов данного многочлена, нужно сложить все коэффициенты при каждом члене многочлена. В данном случае, многочлен имеет вид:

\(х³⁰ - 6х²⁵ - 120х²³ + 845х²² - 450х²¹ + 120х²⁰ - 4х⁶ - 16х⁴ + 60х³ - 120х² + 9\)

Произведем сложение всех коэффициентов:

\(1 + (-6) + (-120) + 845 + (-450) + 120 + (-4) + (-16) + 60 + (-120) + 9\)

Очевидно, что после сложения коэффициентов всех членов нашего многочлена, получаем сумму - 541.

Ответ на задачу c) состоит в следующем: сумма всех коэффициентов данного многочлена равна -541.

d) Чтобы найти сумму коэффициентов при четных степенях данного многочлена, нужно сложить коэффициенты при \(х⁰\), \(х²\), \(х⁴\), \(х⁶\), ..., \(х^{30}\). В данном случае, коэффициенты при четных степенях многочлена имеют вид:

\(1 + (-120) + (-4) + 60 + ... + 0\)

Произведем сложение:

\(1 + (-120) + (-4) + 60 = -63\)

Ответ на задачу d) состоит в следующем: сумма коэффициентов при четных степенях данного многочлена равна -63.