Найти решение уравнения (х²-2х)/(х-6) + 12/(х-5) + 96/(х²-11х+30

Для начала решим данное уравнение. Перед тем, как начать, важно заметить, что уравнение не может иметь значения \(x\), которые делают знаменатели равными нулю. То есть, \(x\) не может быть равен 6, 5 или быть корнем квадратного трехчлена \(x^2-11x+30\). Начнем процесс пошагового решения.

1. Начнем с упрощения дробей, объединив их в одну общую дробь. При этом заметим, что знаменатели не могут быть равны нулю. Для этого применим процедуру общего знаменателя и приведем все слагаемые к общему знаменателю:

\[\frac{{x^2 - 2x}}{{x - 6}} + \frac{{12}}{{x - 5}} + \frac{{96}}{{x^2 - 11x + 30}}\]

Для этого, умножим каждое слагаемое на необходимые множители:

\[ \frac{{x^2 - 2x}}{{x - 6}} \cdot \frac{{(x - 5)(x^2 - 11x + 30)}}{{(x - 5)(x^2 - 11x + 30)}} + \frac{{12}}{{x - 5}} \cdot \frac{{(x - 6)(x^2 - 11x + 30)}}{{(x - 6)(x^2 - 11x + 30)}} + \frac{{96}}{{x^2 - 11x + 30}} \cdot \frac{{(x - 6)(x - 5)}}{{(x - 6)(x - 5)}} \]

После этих преобразований, уравнение становится:

\[\frac{{(x^2 - 2x)(x - 5)(x^2 - 11x + 30) + 12(x - 6)(x^2 - 11x + 30) + 96(x - 6)(x - 5)}}{{(x - 6)(x - 5)(x^2 - 11x + 30)}}\]

2. Продолжим обработку уравнения, раскрывая скобки и сокращая общие слагаемые:

\[\frac{{(x^3 - 5x^2 - 11x^3 + 55x^2 + 30x - 150x - 2x^2 + 10x + 22) + (12x^3 - 72x^2 - 132x^2 + 792x + 360 - 2160x + 96x^2 - 576x - 960) + (96x^2 - 576x - 480x + 2880)}}{{(x - 6)(x - 5)(x^2 - 11x + 30)}}\]

Собирая подобные слагаемые, получаем:

\[\frac{{(-10x^3 + 75x^2 - 180x + 22) + (12x^3 - 300x^2 + 2160x - 600) + (96x^2 - 1320x + 2880)}}{{(x - 6)(x - 5)(x^2 - 11x + 30)}}\]

3. Теперь объединим все слагаемые и упростим числитель:

\[\frac{{2x^3 - 129x^2 + 2760x - 578}}{{(x - 6)(x - 5)(x^2 - 11x + 30)}}\]

4. Разложим знаменатель на множители:

\[(x - 6)(x - 5)(x^2 - 11x + 30) = (x^2 - 11x + 30)(x - 6)(x - 5)\]

Второй множитель является квадратным трехчленом, его мы можем разложить на множители:

\[(x^2 - 11x + 30)(x - 6)(x - 5) = (x - 6)(x - 5)(x - 6)(x - 5)\]

5. Таким образом, наше уравнение принимает следующий вид:

\[\frac{{2x^3 - 129x^2 + 2760x - 578}}{{(x - 6)(x - 5)(x - 6)(x - 5)}}\]

6. Дальше мы видим, что в числителе и знаменателе присутствуют общие множители \((x - 6)(x - 5)\). Сокращаем их:

\[\frac{{2x^3 - 129x^2 + 2760x - 578}}{{(x - 6)(x - 5)^2}}\]

Таким образом, решение данного уравнения:

\[\frac{{2x^3 - 129x^2 + 2760x - 578}}{{(x - 6)(x - 5)^2}}\]