Перечислите все возможные значения случайной величины Х - количество черных шаров среди выбранных, если из ящика

Давайте посмотрим на эту задачу внимательно.

У нас есть ящик с 10 белыми и 2 черными шарами. Мы случайно выбираем 3 шара. Нам нужно определить все возможные значения случайной величины \(X\), которая представляет собой количество черных шаров, выбранных из ящика.

При решении этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Количество возможных сочетаний извлечения 3 шаров из ящика равно по формуле сочетаний:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

Где \(n\) - общее количество шаров в ящике, \(k\) - количество черных шаров.

Теперь, давайте пошагово решим задачу:

1. Рассмотрим случай, когда мы выбираем 0 черных шаров. Это означает, что мы выбираем только белые шары. Количество сочетаний, при которых мы выбираем 3 белых шара из 10 белых, равно:

\[
C_{10}^3 = \frac{{10!}}{{3!(10-3)!}} = \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 120
\]

Таким образом, первый возможный вариант - \(X = 0\) с количеством сочетаний 120.

2. Теперь рассмотрим случай, когда мы выбираем 1 черный шар и 2 белых шара. Количество сочетаний, при которых мы выбираем 1 черный шар из 2 черных и 2 белых шара из 10 белых, равно:

\[
C_{2}^1 \cdot C_{10}^2 = \frac{{2!}}{{1!(2-1)!}} \cdot \frac{{10!}}{{2!(10-2)!}} = \frac{{2!}}{{1! \cdot 1!}} \cdot \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}} = 2 \cdot \frac{{10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}} = 90
\]

Таким образом, второй возможный вариант - \(X = 1\) с количеством сочетаний 90.

3. Перейдем к следующему варианту, где мы выбираем 2 черных шара и 1 белый шар. Количество сочетаний, при которых мы выбираем 2 черных шара из 2 черных и 1 белый шар из 10 белых, равно:

\[
C_{2}^2 \cdot C_{10}^1 = \frac{{2!}}{{2!(2-2)!}} \cdot \frac{{10!}}{{1!(10-1)!}} = \frac{{2!}}{{2! \cdot 0!}} \cdot \frac{{10!}}{{1! \cdot 9!}} = 1 \cdot 10 = 10
\]

Таким образом, третий возможный вариант - \(X = 2\) с количеством сочетаний 10.

4. И, наконец, рассмотрим случай, когда мы выбираем все 3 черных шара. Количество сочетаний, при которых мы выбираем 3 черных шара из 2 черных, равно:

\[
C_{2}^3 = \frac{{2!}}{{3!(2-3)!}} = \frac{{2!}}{{3! \cdot (-1)!}} = 0
\]

Таким образом, четвертый возможный вариант - \(X = 3\) с количеством сочетаний 0.

Итак, мы получили все возможные значения случайной величины \(X\) и количество сочетаний для каждого значения:

а) \(X = 0\) с количеством сочетаний 120.
б) \(X = 1\) с количеством сочетаний 90.
в) \(X = 2\) с количеством сочетаний 10.
г) \(X = 3\) с количеством сочетаний 0.

Надеюсь, это помогло вам понять, как решить данную задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.