Какие длины сторон прямоугольника позволят достичь наибольшей площади, если проволоку длиной 48 м сложить в форме

Хорошо! Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти такие длины сторон прямоугольника, при которых его площадь будет максимальной.

Пусть одна сторона прямоугольника будет \(x\) метров, а другая сторона будет \(y\) метров. Мы знаем, что проволока, которую мы используем для построения прямоугольника, имеет длину 48 метров. Исходя из этого, мы можем записать уравнение для периметра прямоугольника:

\[2x + 2y = 48\]

Теперь мы можем выразить одну из переменных через другую. Давайте выразим \(y\) через \(x\):

\[y = 24 - x\]

Теперь у нас есть выражение для площади прямоугольника через переменную \(x\):

\[S = x \cdot y = x \cdot (24 - x)\]

Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно найти значение \(x\), при котором произведение \(x \cdot (24 - x)\) будет максимальным. Для этого мы можем воспользоваться методом дифференцирования.

Первым шагом найдем производную выражения \(S\) по переменной \(x\):

\[\frac{dS}{dx} = 24 - 2x\]

Приравняем производную к нулю и найдем значения \(x\), которые удовлетворяют этому условию:

\[24 - 2x = 0\]

\[2x = 24\]

\[x = 12\]

Теперь, чтобы убедиться, что это действительно точка экстремума, нужно проверить вторую производную. Возьмем вторую производную выражения \(S\):

\[\frac{d^2S}{dx^2} = -2\]

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что \(x = 12\) действительно является точкой максимума.

Итак, мы нашли, что одна сторона прямоугольника должна быть равной 12 метров. Теперь найдем другую сторону, используя наше предыдущее уравнение:

\[y = 24 - x = 24 - 12 = 12\]

Таким образом, стороны прямоугольника должны быть равны 12 метров и 12 метров, чтобы достичь наибольшей площади.

Проверим это значения, подставив их в изначальное уравнение для периметра:

\[2x + 2y = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 12 = 24 + 24 = 48\]

Периметр равен 48 метров, что соответствует условию задачи.