Параллелограммаға перпендикуляр ретінде, 12 см-ге тең диагонал бар, оның ұзындығы 13 см болса, параллелограмманың

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Возьмем данный параллелограмм. Пусть стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), а высота равна \(h\).
2. Мы знаем, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника.
3. Поскольку одна из диагоналей равна 12 см, то обозначим ее как \(d_1\) и найдем высоту одного из треугольников, образованных этой диагональю. Обозначим эту высоту как \(h_1\).
4. Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h\), где \(d\) - длина основания треугольника, а \(h\) - соответствующая ему высота.
5. Подставляем известные значения: \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_1\).
6. Далее, зная, что параллелограмм имеет две равные диагонали, а другая диагональ равна 13 см, обозначим ее как \(d_2\) и найдем высоту другого треугольника, образованного этой диагональю. Обозначим эту высоту как \(h_2\).
7. Снова используем формулу для площади треугольника: \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_2\).
8. Заметим, что высоты треугольников \(h_1\) и \(h_2\) равны высоте \(h\) параллелограмма, так как все треугольники имеют общую высоту.
9. Теперь, зная, что площадь любой фигуры равна сумме площадей составляющих ее треугольников, можем записать уравнение: \(S = S_1 + S_2\).
10. Подставляем известные значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h + \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h\).
11. Упрощаем выражение: \(S = 6h + \frac{13}{2}h\).
12. Объединяем похожие слагаемые: \(S = \frac{25}{2}h\).
13. Теперь у нас есть выражение для площади параллелограмма через его высоту.
14. Однако, высоту параллелограмма мы пока не знаем, но можем найти ее, используя теорему Пифагора.
15. Так как одна из диагоналей равновеликая треугольник, то каждая сторона параллелограмма будет вместе с половиной диагонали образовывать прямоугольный треугольник.
16. По теореме Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - длина диагонали, \(a\) и \(b\) - стороны треугольника.
17. Подставляем известные значения: \((\frac{1}{2}d)^2 = a^2 + b^2\).
18. Упрощаем выражение: \(\frac{1}{4}d^2 = a^2 + b^2\).
19. Заметим, что стороны треугольника равны сторонам параллелограмма: \(a = b\).
20. Подставляем значение: \(\frac{1}{4}d^2 = 2a^2\).
21. Упрощаем выражение: \(d^2 = 8a^2\).
22. Нам дано, что длина одной из диагоналей равна 12 см, поэтому можем записать уравнение: \(12^2 = 8a^2\).
23. Раскрываем квадрат: \(144 = 8a^2\).
24. Делим обе части уравнения на 8: \(18 = a^2\).
25. Извлекаем квадратный корень: \(a = \sqrt{18}\).
26. Теперь, зная значение одной из сторон, можем найти значение площади параллелограмма.
27. Подставляем значение стороны в выражение для площади: \(S = \frac{25}{2} \cdot \sqrt{18}\).
28. Вычисляем значение площади с помощью калькулятора: \(S \approx 32.23\) (округляем до сотых).
29. Итак, площадь данного параллелограмма составляет примерно \(32.23\) квадратных сантиметра.