Определите значения x, при которых 2sin(x/2 + Пи/4) больше или равно

Для решения данной задачи, мы должны выяснить, при каких значениях \(x\) выражение \(2sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\) будет больше или равно нулю.

Итак, начнем с того, что приведем данное выражение к более простой форме, используя тригонометрические тождества:

\[2sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 2sin\frac{x}{2}cos\frac{\pi}{4} + 2cos\frac{x}{2}sin\frac{\pi}{4}\]

Далее, мы можем заметить, что \(sin\frac{\pi}{4} = cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому мы можем упростить выражение:

\[2sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}sin\frac{x}{2} + \sqrt{2}cos\frac{x}{2}\]

Затем, мы можем преобразовать данное выражение, используя формулу сложения для синусов:

\[2sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}sin\frac{x}{2} + \sqrt{2}cos\frac{x}{2}\]
\[= \sqrt{2}sin\frac{x}{2} + \sqrt{2}sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right)\]
\[= \sqrt{2}sin\frac{x}{2} + \sqrt{2}cos\frac{x}{2}\]
\[= \sqrt{2}\left(sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}\right)\]

Итак, теперь мы получили упрощенное выражение \(2sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}\right)\).

Теперь мы можем поставить неравенство: \(\sqrt{2}\left(sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}\right) \geq 0\).

Для решения данного неравенства, мы разобьем его на два случая:

1. Случай, когда \(\sqrt{2}\left(sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}\right) > 0\):
Для этого случая, выражение \(sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}\) должно быть положительным. Так как синус и косинус угла одновременно положительными или отрицательными не могут, то данное выражение будет положительным только в том случае, когда оба синус и косинус одновременно положительны. То есть, \(sin\frac{x}{2} > 0\) и \(cos\frac{x}{2} > 0\). Это возможно, когда \(0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}\).

2. Случай, когда \(\sqrt{2}\left(sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}\right) = 0\):
Для этого случая, выражение \(sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}\) должно быть равно нулю. Это возможно, когда \(sin\frac{x}{2} = -cos\frac{x}{2}\). Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями. Учитывая, что \(sin^2\theta + cos^2\theta = 1\), мы можем записать: \(sin^2\frac{x}{2} + cos^2\frac{x}{2} = 1\). Это дает нам \(2sin^2\frac{x}{2} = 1\), то есть \(sin^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\). Применяя квадратный корень к обеим сторонам уравнения, получаем \(sin\frac{x}{2} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\). Следовательно, \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\) или \(x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - любое целое число.

Таким образом, мы рассмотрели два случая и получили следующие значения \(x\), при которых \(2sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \geq 0\):

1. \(0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}\)
2. \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\) или \(x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - любое целое число.