Определите значения угловой скорости ω, линейной скорости v и углового ускорения ε для движения материальной точки

Для решения данной задачи, нам дано уравнение движения материальной точки по окружности:

\[\varphi = a + vt + ct^2 + dt^3\]

где:
\(\varphi\) - угол поворота материальной точки,
\(a\) - начальный угол поворота (\(5.5 \, \text{рад}\)),
\(v\) - линейная скорость (\(1 \, \text{рад/с}\)),
\(c\) - угловое ускорение (\(-2.5 \, \text{рад/с}^2\)),
\(d\) - коэффициент углового ускорения (\(1.8 \, \text{рад/с}^3\)),
\(t\) - время движения.

Мы хотим найти значения угловой скорости \(\omega\), линейной скорости \(v\) и углового ускорения \(\varepsilon\) через 8 секунд после начала движения.

Для начала, найдем значения угловой скорости \(\omega\) через производную относительно времени \(t\) у уравнения движения:

\[\omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{da}{dt} + v + 2ct + 3dt^2\]

Поскольку \(a\) не зависит от времени, то \(\frac{da}{dt} = 0\), и получаем:

\[\omega = v + 2ct + 3dt^2\]

Подставим известные значения в формулу:

\[\omega = 1 \, \text{рад/с} + 2(-2.5 \, \text{рад/с}^2)(8 \, \text{с}) + 3(1.8 \, \text{рад/с}^3)(8 \, \text{с})^2\]

\[\omega = 1 \, \text{рад/с} - 40 \, \text{рад/с} + 46.08 \, \text{рад/с}\]

\[\omega \approx 7.08 \, \text{рад/с}\]

Теперь рассчитаем линейную скорость \(v\) через формулу \(v = \omega \cdot r\), где \(r\) - радиус окружности:

\[v = 7.08 \, \text{рад/с} \cdot r\]

В задаче не указано значение радиуса \(r\), поэтому мы не можем точно рассчитать линейную скорость \(v\). Если у вас есть значение радиуса, пожалуйста, предоставьте его, чтобы мы могли окончательно рассчитать \(v\) и \(\varepsilon\).

Обратите внимание, что угловая скорость \(\omega\) будет одинаковой для любой точки на окружности, но линейная скорость \(v\) зависит от радиуса окружности, а угловое ускорение \(\varepsilon\) связано с коэффициентами углового ускорения \(c\) и \(d\), но они не зависят от времени движения по окружности.