Определите значения остальных трех тригонометрических функций при условии, что cos(t) = 8/17, 0 < t < π/2

Для решения данной задачи, нам понадобятся связи между тригонометрическими функциями. Давайте вспомним основные определения:

- \(\sin(t) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)
- \(\cos(t) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)
- \(\tan(t) = \frac{{\sin(t)}}{{\cos(t)}}\)
- \(\csc(t) = \frac{1}{{\sin(t)}}\)
- \(\sec(t) = \frac{1}{{\cos(t)}}\)
- \(\cot(t) = \frac{1}{{\tan(t)}}\)

Из условия задачи известно, что \(\cos(t) = \frac{8}{17}\) и \(0 < t < \frac{\pi}{2}\).

Давайте найдем значение остальных тригонометрических функций используя данные связи.

1. Найдем \(\sin(t)\) с использованием формулы \(\sin(t) = \sqrt{1 - \cos^2(t)}\):
\(\sin(t) = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{289}{289} - \frac{64}{289}} = \frac{\sqrt{225}}{17} = \frac{15}{17}\)

2. Теперь найдем \(\tan(t)\) с использованием формулы \(\tan(t) = \frac{{\sin(t)}}{{\cos(t)}}\):
\(\tan(t) = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} = \frac{15}{17} \cdot \frac{17}{8} = \frac{15}{8}\)

3. Последовательно найдем \(\csc(t)\), \(\sec(t)\) и \(\cot(t)\) используя уже найденные значения:
\(\csc(t) = \frac{1}{\sin(t)} = \frac{1}{\frac{15}{17}} = \frac{17}{15}\)
\(\sec(t) = \frac{1}{\cos(t)} = \frac{1}{\frac{8}{17}} = \frac{17}{8}\)
\(\cot(t) = \frac{1}{\tan(t)} = \frac{1}{\frac{15}{8}} = \frac{8}{15}\)

Итак, получаем значения остальных тригонометрических функций:
\(\sin(t) = \frac{15}{17}\)
\(\tan(t) = \frac{15}{8}\)
\(\csc(t) = \frac{17}{15}\)
\(\sec(t) = \frac{17}{8}\)
\(\cot(t) = \frac{8}{15}\)

Надеюсь, данный пошаговый анализ помог вам понять, как найти значения остальных тригонометрических функций при заданном значении \(\cos(t)\). Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!