Определите значение n, если известно, что (√8)^n * (√75)^n / 10^n = 1/6√6

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Мы имеем следующее уравнение:
\(\left(\sqrt{8}\right)^n \cdot \left(\sqrt{75}\right)^n / 10^n = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Для начала, разложим выражения в скобках:
\(\left(\sqrt{8}\right)^n = 8^{n/2}\)
\(\left(\sqrt{75}\right)^n = 75^{n/2}\)

Теперь мы можем заменить значения в исходном уравнении:
\(8^{n/2} \cdot 75^{n/2} / 10^n = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Далее, мы заметим, что \(8 = 2^3\), \(75 = 3 \cdot 5^2\) и \(10 = 2 \cdot 5\). Подставим эти значения:
\((2^3)^{n/2} \cdot (3 \cdot 5^2)^{n/2} / (2 \cdot 5)^n = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Мы также знаем, что \((a^b)^c = a^{bc}\). Применим это свойство:
\(2^{3 \cdot n/2} \cdot 3^{n/2} \cdot 5^{2 \cdot n/2} / (2^n \cdot 5^n) = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Сократим общие множители:
\(2^{3n/2 - n} \cdot 3^{n/2 - 1} \cdot 5^{n - n/2 - n} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Приведем степени до общего знаменателя:
\(2^{n/2} \cdot 3^{-1/2} \cdot 5^{n/2 - 1 - n/2} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Упростим выражение:
\(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 5^{-1/2} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Теперь разберемся с корнями:
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Рационализируем знаменатель с помощью умножения на сопряженное выражение:
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Умножим числитель:
\(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Упростим выражение:
\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Теперь сопоставим оба выражения:
\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Как мы знаем, \(\sqrt{10} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}}\) и \(\sqrt{15} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{5}{2}}\), подставим эти значения:
\(\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Сократим общие множители:
\(\frac{\sqrt{\frac{5}{3}}}{\sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\) для упрощения:
\(\frac{\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

Сократим общие множители:
\(\frac{\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6}\)

Теперь сопоставим оба выражения:
\(\frac{\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6}\)

Отсюда мы видим, что числители и знаменатели в обоих выражениях равны. Следовательно, значение \(n\) любое число, при котором это уравнение выполняется.