Определите значение косинуса угла между плоскостями ABC и: a) ABC1; б) ADC1, для прямоугольного параллелепипеда ABCDA1

Для решения данной задачи, нам необходимо определить косинус угла между плоскостями ABC и плоскостями ABC1 и ADC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AB = 4, AD = 3 и AA1. Давайте решим каждую часть задачи по очереди:

a) Косинус угла между плоскостями ABC и ABC1.
Чтобы определить косинус угла между двумя плоскостями, нам понадобится нормальный вектор для каждой плоскости. Нормальный вектор плоскости определяется векторным произведением двух векторов, лежащих в этой плоскости.

Для плоскости ABC направим два вектора BA и BC, чтобы они лежали в этой плоскости. Вектор BA можно найти, вычитая вектор A из вектора B: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$

Таким же образом, вектор BC можно найти, вычитая вектор C из вектора B: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}$

Если мы возьмём векторное произведение этих двух векторов, получим нормальный вектор плоскости ABC. Обозначим его через $\overrightarrow{n_{ABC}}$.

Аналогично, для плоскости ABC1 мы можем получить нормальный вектор $\overrightarrow{n_{ABC1}}$ с использованием векторов BA и BC1.

Теперь, чтобы найти косинус угла между этими плоскостями, мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot \overrightarrow{n_{ABC1}}}{|\overrightarrow{n_{ABC}}|\cdot |\overrightarrow{n_{ABC1}}|}$$

где $\theta$ - искомый угол между плоскостями ABC и ABC1.

b) Косинус угла между плоскостями ABC и ADC1.
Аналогично, мы можем найти нормальный вектор плоскости ADC1 с использованием векторов AD и AC1.

Используем полученные нормальные векторы $\overrightarrow{n_{ABC}}$ и $\overrightarrow{n_{ADC1}}$ для определения косинуса угла ${\theta }_1$ между плоскостями ABC и ADC1:

$$\cos {\theta }_1=\frac{\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot \overrightarrow{n_{ADC1}}}{|\overrightarrow{n_{ABC}}|\cdot |\overrightarrow{n_{ADC1}}|}$$

Теперь у нас есть формулы для вычисления косинуса углов между плоскостями. Давайте продолжим и вычислим значения для каждого пункта задачи:

а) Определение косинуса угла между плоскостями ABC и ABC1:
1. Вычислим векторы BA и BC:
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)$
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}=(B_x-C_x,B_y-C_y,B_z-C_z)$
2. Вычислим нормальные векторы плоскостей ABC и ABC1:
$\overrightarrow{n_{ABC}}=\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{n_{ABC1}}=\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC1}$
3. Вычислим косинус угла $\theta$ между плоскостями ABC и ABC1:
$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot \overrightarrow{n_{ABC1}}}{|\overrightarrow{n_{ABC}}|\cdot |\overrightarrow{n_{ABC1}}|}$

б) Определение косинуса угла между плоскостями ABC и ADC1:
1. Вычислим векторы AD и AC1:
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{D}=(D_x-A_x,D_y-A_y,D_z-A_z)$
$\overrightarrow{AC1}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C1}=(C{1}_x-A_x,C{1}_y-A_y,C{1}_z-A_z)$
2. Вычислим нормальные векторы плоскостей ABC и ADC1:
$\overrightarrow{n_{ABC}}=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{n_{ADC1}}=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AC1}$
3. Вычислим косинус угла ${\theta }_1$ между плоскостями ABC и ADC1:
$\cos {\theta }_1=\frac{\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot \overrightarrow{n_{ADC1}}}{|\overrightarrow{n_{ABC}}|\cdot |\overrightarrow{n_{ADC1}}|}$

Таким образом, после выполнения всех вычислений мы сможем получить значения косинусов углов между плоскостями ABC и ABC1, а также между плоскостями ABC и ADC1.