Определите значение косинуса угла между плоскостями ABC и: a) ABC1; б) ADC1, для прямоугольного параллелепипеда ABCDA1

Для решения данной задачи, нам необходимо определить косинус угла между плоскостями ABC и плоскостями ABC1 и ADC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AB = 4, AD = 3 и AA1. Давайте решим каждую часть задачи по очереди:

a) Косинус угла между плоскостями ABC и ABC1.
Чтобы определить косинус угла между двумя плоскостями, нам понадобится нормальный вектор для каждой плоскости. Нормальный вектор плоскости определяется векторным произведением двух векторов, лежащих в этой плоскости.

Для плоскости ABC направим два вектора BA и BC, чтобы они лежали в этой плоскости. Вектор BA можно найти, вычитая вектор A из вектора B: \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)

Таким же образом, вектор BC можно найти, вычитая вектор C из вектора B: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}\)

Если мы возьмём векторное произведение этих двух векторов, получим нормальный вектор плоскости ABC. Обозначим его через \(\overrightarrow{n_{ABC}}\).

Аналогично, для плоскости ABC1 мы можем получить нормальный вектор \(\overrightarrow{n_{ABC1}}\) с использованием векторов BA и BC1.

Теперь, чтобы найти косинус угла между этими плоскостями, мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

\[\cos{\theta} = \frac{{\overrightarrow{n_{ABC}} \cdot \overrightarrow{n_{ABC1}}}}{{|\overrightarrow{n_{ABC}}| \cdot |\overrightarrow{n_{ABC1}}|}}\]

где \(\theta\) - искомый угол между плоскостями ABC и ABC1.

b) Косинус угла между плоскостями ABC и ADC1.
Аналогично, мы можем найти нормальный вектор плоскости ADC1 с использованием векторов AD и AC1.

Используем полученные нормальные векторы \(\overrightarrow{n_{ABC}}\) и \(\overrightarrow{n_{ADC1}}\) для определения косинуса угла \(\theta_1\) между плоскостями ABC и ADC1:

\[\cos{\theta_1} = \frac{{\overrightarrow{n_{ABC}} \cdot \overrightarrow{n_{ADC1}}}}{{|\overrightarrow{n_{ABC}}| \cdot |\overrightarrow{n_{ADC1}}|}}\]

Теперь у нас есть формулы для вычисления косинуса углов между плоскостями. Давайте продолжим и вычислим значения для каждого пункта задачи:

а) Определение косинуса угла между плоскостями ABC и ABC1:
1. Вычислим векторы BA и BC:
\(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (A_x - B_x, A_y - B_y, A_z - B_z)\)
\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (B_x - C_x, B_y - C_y, B_z - C_z)\)
2. Вычислим нормальные векторы плоскостей ABC и ABC1:
\(\overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{n_{ABC1}} = \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC1}\)
3. Вычислим косинус угла \(\theta\) между плоскостями ABC и ABC1:
\(\cos{\theta} = \frac{{\overrightarrow{n_{ABC}} \cdot \overrightarrow{n_{ABC1}}}}{{|\overrightarrow{n_{ABC}}| \cdot |\overrightarrow{n_{ABC1}}|}}\)

б) Определение косинуса угла между плоскостями ABC и ADC1:
1. Вычислим векторы AD и AC1:
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D} = (D_x - A_x, D_y - A_y, D_z - A_z)\)
\(\overrightarrow{AC1} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C1} = (C1_x - A_x, C1_y - A_y, C1_z - A_z)\)
2. Вычислим нормальные векторы плоскостей ABC и ADC1:
\(\overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{n_{ADC1}} = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC1}\)
3. Вычислим косинус угла \(\theta_1\) между плоскостями ABC и ADC1:
\(\cos{\theta_1} = \frac{{\overrightarrow{n_{ABC}} \cdot \overrightarrow{n_{ADC1}}}}{{|\overrightarrow{n_{ABC}}| \cdot |\overrightarrow{n_{ADC1}}|}}\)

Таким образом, после выполнения всех вычислений мы сможем получить значения косинусов углов между плоскостями ABC и ABC1, а также между плоскостями ABC и ADC1.