Определите значение коэффициента перед a4 b6 в разложении бинома (a+b)^10

Конечно! Для решения этой задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая выглядит следующим образом:

\((a+b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n\),

где \(C_n^k\) обозначает биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

\(C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\),

где \(n!\) - факториал числа \(n\), равный произведению всех положительных целых чисел от 1 до \(n\).

В данной задаче требуется найти значение коэффициента перед \(a^4 \cdot b^6\):

\((a+b)^{10} = C_{10}^0 \cdot a^{10} \cdot b^0 + C_{10}^1 \cdot a^9 \cdot b^1 + C_{10}^2 \cdot a^8 \cdot b^2 + \ldots + C_{10}^{10} \cdot a^0 \cdot b^{10}\).

Законодательство математики позволяет называть разложение первым числом степеней a и вторым числом степеней b:

\((a+b)^{10} = a^{10} + 10 \cdot a^9 \cdot b^1 + 45 \cdot a^8 \cdot b^2 + \ldots\).

Нам нужно найти коэффициент перед \(a^4 \cdot b^6\), поэтому смотрим на последнее слагаемое в разложении, где степень a равна 4, а степень b равна 6:

\(C_{10}^6 \cdot a^4 \cdot b^6\).

Вычислим значение биномиального коэффициента:

\(C_{10}^6 = \frac{10!}{6! \cdot (10-6)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{24} = 210\).

Итак, значение коэффициента перед \(a^4 \cdot b^6\) в разложении бинома \((a+b)^{10}\) равно 210.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам лучше понять процесс получения ответа. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!