Определите значение боковой стороны трапеции и радиуса окружности, вписанной в трапецию, если длины ее оснований

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства трапеции и окружности.

1. Рассмотрим трапецию. У нас есть два основания: одно длиной 8 см и другое длиной 16 см. По свойству трапеции, сумма длин оснований умноженная на высоту, равна удвоенной площади трапеции.
Площадь трапеции: \[S_{тр} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\], где \(a\) и \(b\) - длины оснований, а \(h\) - высота треугольника.
Для нашей задачи площадь можно выразить как: \[S_{тр} = \frac{(8 + 16) \cdot h}{2} = 12h\].

2. Теперь рассмотрим вписанную окружность в трапецию. Мы знаем, что радиус окружности является расстоянием от центра окружности до любой стороны трапеции. Обозначим радиус окружности как \(r\).

3. Основываясь на рисунке trapecija.png, можем заметить, что для прямоугольной трапеции (как в нашем случае) высота является средним геометрическим между базами (основаниями):
\[h = \sqrt{a \cdot b}\], где \(a = 8\) см и \(b = 16\) см.

Таким образом, мы получили следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
12h &= S_{тр} \\
r &= \sqrt{a \cdot b}
\end{align*}
\]

Подставляя известные значения, получим:

\[
\begin{align*}
12 \cdot \sqrt{8 \cdot 16} &= S_{тр} \\
r &= \sqrt{8 \cdot 16}
\end{align*}
\]

Вычислим значения:

\[
\begin{align*}
12 \cdot \sqrt{8 \cdot 16} &= 12 \cdot \sqrt{128} = 12 \cdot 8\sqrt{2} = 96\sqrt{2} \\
r &= \sqrt{8 \cdot 16} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}
\end{align*}
\]

Итак, значение боковой стороны трапеции - \(96\sqrt{2}\) см, а радиус окружности, вписанной в трапецию - \(8\sqrt{2}\) см.

Таким образом, правильный вариант ответа - 96²√ и 8√2.