Определите условия, когда будет выполняться равенство ab + bc + cd = ad для произвольных точек a, b, c, d на плоскости

Чтобы определить условия, при которых выполняется равенство \(ab + bc + cd = ad\) для произвольных точек \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) на плоскости, давайте разберемся пошагово.

Пусть точки \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) имеют следующие координаты: \(a = (x_a, y_a)\), \(b = (x_b, y_b)\), \(c = (x_c, y_c)\), \(d = (x_d, y_d)\).

Тогда мы можем записать уравнение \(ab + bc + cd = ad\) в виде:

\((x_b - x_a)(y_b - y_a) + (x_c - x_b)(y_c - y_b) + (x_d - x_c)(y_d - y_c) = (x_d - x_a)(y_d - y_a)\).

Раскроем скобки слева и справа, и приведем подобные слагаемые:

\(x_b y_b - x_b y_a - x_a y_b + x_a y_a + x_c y_c - x_c y_b - x_b y_c + x_b y_b + x_d y_d - x_d y_c - x_c y_d + x_c y_c = x_d y_d - x_d y_a - x_a y_d + x_a y_a\).

Заметим, что множители \(x_a y_a\), \(x_b y_b\), \(x_c y_c\), \(x_d y_d\) встречаются как в левой, так и в правой части уравнения и, следовательно, сокращаются. Также сократим другие одинаковые слагаемые (например, \(x_b y_b\) и \(- x_b y_b\)):

\(- x_b y_a - x_a y_b + x_c y_c - x_c y_b - x_b y_c - x_d y_c + x_d y_d = - x_d y_a - x_a y_d\).

Теперь сгруппируем слагаемые:

\(- x_b y_a - x_a y_b - x_c y_b - x_b y_c - x_d y_c + x_c y_c + x_d y_d = - x_d y_a - x_a y_d\).

Вычтем \(- x_c y_c\) с обоих сторон:

\(- x_b y_a - x_a y_b - x_c y_b - x_b y_c - x_d y_c + x_d y_d - x_c y_c = - x_d y_a - x_a y_d - x_c y_c\).

Далее, сгруппируем слагаемые еще раз:

\(- x_b y_a - x_a y_b - x_c y_b - x_b y_c - x_c y_c - x_d y_c + x_d y_d = - x_d y_a - x_a y_d - x_c y_c\).

Теперь сократим подобные слагаемые:

\(-x_a y_b - x_b y_a - x_b y_c -x_c y_b - x_c y_c - x_d y_c + x_d y_d = -x_a y_d - x_d y_a - x_c y_c\).

Теперь приведем подобные слагаемые на разные стороны уравнения:

\(-x_a y_d - x_d y_a + x_a y_b + x_b y_a - x_b y_c -x_c y_b +x_c y_c + x_d y_c + x_c y_c - x_d y_d = 0\).

Избавимся от скобок:

\(-x_a y_d - x_d y_a + x_a y_b + x_b y_a - x_b y_c - x_c y_b - x_d y_c + x_c y_c + x_d y_c + x_c y_c - x_d y_d = 0\).

Упростим уравнение:

\(- x_d y_d - x_d y_a - x_d y_c - x_d y_c - x_a y_d + x_a y_b + x_b y_a - x_b y_c - x_c y_b + x_c y_c + x_c y_c = 0\).

Теперь приведем подобные слагаемые:

\(- x_d y_d - x_a y_d - x_d y_c - x_d y_c - x_a y_b - x_c y_b + x_b y_a - x_b y_c + x_c y_c + x_c y_c = 0\).

Далее, сгруппируем слагаемые:

\(- (x_d y_d + x_a y_d + x_d y_c + x_d y_c) - (x_a y_b + x_c y_b) + (x_b y_a) - (x_b y_c) + (x_c y_c + x_c y_c) = 0\).

Сократим подобные слагаемые:

\(- 2x_d y_c - x_a y_d - x_a y_b - x_c y_b + x_b y_a - x_b y_c + 2x_c y_c = 0\).

Из данного уравнения видно, что равенство \(ab + bc + cd = ad\) будет выполняться для произвольных точек \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) на плоскости, если левая часть уравнения равна правой части, то есть:

\(- 2x_d y_c - x_a y_d - x_a y_b - x_c y_b + x_b y_a - x_b y_c + 2x_c y_c = 0\).

Таким образом, это условие является достаточным и необходимым для выполнения равенства \(ab + bc + cd = ad\) для произвольных точек \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) на плоскости.