Где находится точка максимума функции f(x) при условии, что производная f´(x) равна (x+6)(x-4)?

Для нахождения точки максимума функции f(x) при заданном условии, мы должны найти значение x, при котором производная f"(x) равна нулю. Затем, мы можем использовать вторую производную для проверки, является ли эта точка максимумом. Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с производной f"(x) и приравняем ее к нулю:
\[f"(x) = (x+6)(x-4) = 0\]

2. Разложим это уравнение на множители:
\[x+6 = 0 \quad \text{или} \quad x-4=0\]

3. Теперь решим эти два уравнения:
\[x+6=0 \quad \Rightarrow \quad x=-6\]
\[x-4=0 \quad \Rightarrow \quad x=4\]

4. Мы получили два значения x: -6 и 4. Эти значения являются критическими точками, где производная равна нулю. Однако, нам нужно определить, являются ли они точками максимума или минимума.

5. Чтобы это сделать, вычислим вторую производную f""(x) функции f(x):
\[f""(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = (2x+2)\]

6. Заменим найденные значения x во вторую производную:
\[f""(-6) = 2(-6)+2 = -12+2 = -10\]
\[f""(4) = 2(4)+2 = 8+2 = 10\]

7. Значения второй производной показывают, как у функции меняется ее скорость изменения. Если значение положительное, то это указывает на точку минимума, а если отрицательное - на точку максимума.

8. В нашем случае, f""(-6) равно -10, что негативно, а f""(4) равно 10, что положительно.

9. Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что точка x=4 является точкой максимума функции f(x), а именно: (4, f(4)).

Таким образом, точка максимума функции f(x) при условии, что производная f"(x) равна (x+6)(x-4), находится в точке (4, f(4)).