Определите скорость тела в моменты времени t_1 = 1 с и t_2 = 2,5 с, когда оно осуществляет гармоническое колебание

Для начала, давайте разберемся со значением амплитуды колебания. Когда тело осуществляет гармоническое колебание по закону \(x = 60\sin\), амплитуда равна значению, стоящему перед синусом. В данном случае амплитуда колебаний равна 60.

Затем, для определения скорости тела в моменты времени \(t_1 = 1\) с и \(t_2 = 2.5\) с, воспользуемся производной функции \(x(t)\). Функция гармонического колебания \(x(t)\) задается следующим образом:

\[x(t) = A \sin(\omega t + \phi),\]

где \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая частота колебаний, \(t\) - время, а \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Угловая частота колебаний \(\omega\) связана с периодом \(T\) колебаний следующим образом: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\). В данной задаче период колебаний не дан явно, поэтому нам необходимо его определить.

Период колебаний определяется как время, за которое тело выполняет одно полное колебание. Для гармонического колебания справедливо следующее равенство: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\).

Теперь найдем период \(T\):

\[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \approx 6.28\] секунд.

У нас есть период колебаний, а это значит, что мы можем найти угловую частоту \(\omega\):

\[\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6.28} \approx 1.00\] рад/с.

Теперь у нас есть все данные, чтобы определить скорость в момент времени \(t_1 = 1\) секунда.

Скорость тела в момент времени \(t_1\) находится как производная функции \(x(t)\) по времени \(t\):

\[v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi).\]

Подставляя известные значения, получим:

\[v(t_1) = 60 \cdot 1 \cdot \cos(1 \cdot 1 + \phi).\]

Теперь давайте обратимся к закону гармонического колебания \(x = 60\sin\), где \(x\) определяется как функция времени \(t\). Так как в начальный момент времени \(t = 0\) секунд значение функции \(x\) равно 0, то мы можем написать:

\[60\sin(0 + \phi) = 0.\]

Это означает, что \(\sin(\phi) = 0\), а это в свою очередь значит, что \(\phi = 0\) или \(\phi = \pi\).

Таким образом, у нас есть два возможных значения для фазы колебаний: \(\phi_1 = 0\) и \(\phi_2 = \pi\).

Подставим первое значение фазы \(\phi_1 = 0\) в выражение для скорости:

\[v(t_1) = 60 \cdot 1 \cdot \cos(1 \cdot 1 + 0).\]

\[v(t_1) = 60 \cdot 1 \cdot \cos(1).\]

\[v(t_1) = 60 \cdot \cos(1).\]

Пользуясь калькулятором, рассчитываем косинус:

\[v(t_1) \approx 60 \cdot 0.5403 \approx 32.42\] м/с.

Таким образом, скорость тела в момент времени \(t_1 = 1\) секунда при фазе колебаний \(\phi_1 = 0\) составляет около 32.42 м/с.

Аналогичным образом, мы можем рассчитать скорость в момент времени \(t_2 = 2.5\) секунд для второго значения фазы \(\phi_2 = \pi\):

\[v(t_2) = 60 \cdot 1 \cdot \cos(1 \cdot 2.5 + \pi).\]

\[v(t_2) = 60 \cdot 1 \cdot \cos(2.5 + \pi).\]

\[v(t_2) = 60 \cdot \cos(3.5).\]

\[v(t_2) \approx 60 \cdot (-0.9365) \approx -56.19\] м/с.

Таким образом, скорость тела в момент времени \(t_2 = 2.5\) секунда при фазе колебаний \(\phi_2 = \pi\) составляет около -56.19 м/с.

Важно обратить внимание, что положительное значение скорости указывает на направление, совпадающее с направлением движения тела, а отрицательное значение скорости указывает на противоположное направление. В данной задаче, положительное значение скорости означает движение тела в положительном направлении оси \(x\), а отрицательное значение скорости - в отрицательном направлении оси \(x\).