Когда произойдет первое снижение энергии электрического поля конденсатора в 4 раза (выражено в долях периода t/T)?

Для решения этой задачи нам понадобится знание о процессе зарядки и разрядки конденсатора. Когда конденсатор заряжается, энергия его электрического поля увеличивается. Когда конденсатор разряжается, энергия его электрического поля уменьшается.

Из условия задачи мы знаем, что в начальный момент времени заряд конденсатора максимален. Так как энергия электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату заряда конденсатора, то мы можем сказать, что в начальный момент времени энергия электрического поля конденсатора максимальна.

По мере разрядки конденсатора его энергия будет уменьшаться. Из условия задачи нам требуется найти момент времени, когда энергия электрического поля станет равной четверти начальной энергии.

Пусть текущий момент времени равен \( t \) и период разрядки конденсатора равен \( T \). По определению, период \( T \) - это время, за которое конденсатор полностью разрядится и зарядится снова до начального значения.

Пусть \( E(t) \) - это энергия электрического поля в момент времени \( t \). Тогда, согласно условию задачи, мы ищем такой момент времени \( t" \), при котором:
\[ E(t") = \dfrac{1}{4} E(0) \]
Где \( E(0) \) - это начальная энергия электрического поля конденсатора.

Мы знаем, что энергия электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату напряжения на конденсаторе, а напряжение на конденсаторе в свою очередь пропорционально заряду конденсатора. Также, согласно закону сохранения энергии, энергия электрического поля конденсатора равна работе, необходимой для зарядки его.

Пусть \( Q(t) \) - это заряд конденсатора в момент времени \( t \), \( V(t) \) - напряжение на конденсаторе в момент времени \( t \).

Заряд конденсатора можно выразить через его емкость \( C \) и напряжение на конденсаторе:
\[ Q(t) = C \cdot V(t) \]

Энергия электрического поля конденсатора можно выразить через его емкость и напряжение:
\[ E(t) = \dfrac{1}{2} C \cdot V(t)^2 \]

Посмотрим на процесс разрядки конденсатора. В начальный момент времени, когда заряд конденсатора максимален, напряжение на конденсаторе также максимально. Пусть это напряжение равно \( V_0 \).

Тогда, в момент времени \( t \) во время разрядки, заряд конденсатора и напряжение на нем можно выразить следующим образом:
\[ Q(t) = Q_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \]
\[ V(t) = V_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \]
Где \( Q_0 \) - начальный заряд конденсатора, \( R \) - его сопротивление, \( C \) - его емкость.

Теперь мы можем выразить энергию электрического поля конденсатора в момент времени \( t \):
\[ E(t) = \dfrac{1}{2} C \cdot V(t)^2 = \dfrac{1}{2} C \cdot (V_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}})^2 = \dfrac{1}{2} C \cdot V_0^2 \cdot e^{-\frac{2t}{RC}} \]

Теперь нам нужно найти момент времени \( t" \), при котором:
\[ E(t") = \dfrac{1}{4} E(0) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} C \cdot V_0^2 \]

То есть:
\[ \dfrac{1}{2} C \cdot V_0^2 \cdot e^{-\frac{2t"}{RC}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} C \cdot V_0^2 \]
\[ e^{-\frac{2t"}{RC}} = \dfrac{1}{4} \]
\[ -\frac{2t"}{RC} = \ln\left(\dfrac{1}{4}\right) \]
\[ t" = -\dfrac{RC}{2} \ln\left(\dfrac{1}{4}\right) \]

Таким образом, мы нашли момент времени \( t" \), при котором энергия электрического поля конденсатора становится равной четверти начальной энергии.