При каком соотношении радиуса и высоты цилиндра его боковая поверхность будет иметь форму квадрата?

Чтобы найти соотношение между радиусом и высотой цилиндра, при котором его боковая поверхность будет иметь форму квадрата, давайте рассмотрим особенности боковой поверхности цилиндра и то, как она связана с его параметрами.

Боковая поверхность цилиндра представляет собой обмотку прямоугольника вокруг его основания, которое является кругом. Чтобы боковая поверхность приняла форму квадрата, длина стороны квадрата должна быть равна периметру основания цилиндра.

Пусть радиус цилиндра будет обозначен как \(r\), а его высота - как \(h\).

Периметр основания цилиндра можно найти, используя формулу для длины окружности:

\[
P = 2 \cdot \pi \cdot r
\]

Так как боковая поверхность цилиндра должна иметь форму квадрата, значит, периметр этого квадрата будет равен длине прямоугольника, образованного боковой поверхностью, что равно периметру основания:

\[
P = 2 \cdot \pi \cdot r
\]

Длина стороны квадрата будет равна периметру поделенному на четыре:

\[
s = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{4} = \frac{{\pi \cdot r}}{2}
\]

Теперь, чтобы боковая поверхность цилиндра имела форму квадрата, необходимо, чтобы длина стороны квадрата равнялась высоте цилиндра:

\[
s = h
\]

Подставим выражение для стороны квадрата:

\[
\frac{{\pi \cdot r}}{2} = h
\]

Теперь решим полученное уравнение относительно радиуса \(r\):

\[
r = \frac{{2h}}{\pi}
\]

Таким образом, соотношение между радиусом и высотой цилиндра, при котором его боковая поверхность будет иметь форму квадрата, задается формулой:

\[
r = \frac{{2h}}{\pi}
\]

Например, если высота цилиндра равна 10 единиц, то соответствующий радиус будет равен:

\[
r = \frac{{2 \cdot 10}}{\pi} \approx 6.37
\]

Можно использовать эту формулу, чтобы найти радиус для любой заданной высоты и наоборот.