Определите, при каком значении параметра b уравнение x3+12x2−27x−b=0 имеет два корня

Чтобы определить при каком значении параметра \(b\) уравнение \(x^3 + 12x^2 - 27x - b = 0\) имеет два корня, мы можем воспользоваться теорией кубических уравнений и использовать методы анализа уравнений.

Прежде всего, нам нужно понять, что значит "иметь два корня". Кубическое уравнение может иметь три различных корня (два действительных и один комплексный) или один корень кратности 3 (когда все три корня совпадают). Для того чтобы у нашего уравнения было два корня, оно не должно иметь корней кратности 3.

Давайте посмотрим на уравнение и применим методы анализа. Начнем с разложения левой части уравнения на множители (с помощью теоремы Безу и алгоритма Горнера). Наши множители будут иметь вид \(x - r\), где \(r\) - это корень уравнения.

Известно, что коэффициент при старшей степени \(x\) равен 1, поэтому первый множитель будет \(x - r_1\), где \(r_1\) - это первый корень.

Теперь применим метод Горнера. Для этого разделим многочлен на \(x - r_1\) и найдем остаток:

\[
x^3 + 12x^2 - 27x - b = (x - r_1)(x^2 + (r_1 + 12)x + (r_1^2 + 12r_1 - 27)) + (38r_1 - 27 - b)
\]

Теперь мы имеем два случая:

1. Если \((38r_1 - 27 - b) = 0\), то имеется корень кратности 3, что не удовлетворяет условию.

2. Если \((38r_1 - 27 - b) \neq 0\), то \(x - r_1\) является одним из множителей и остаток \((38r_1 - 27 - b)\) должен быть равен нулю, чтобы уравнение имело два корня.

Таким образом, чтобы уравнение \(x^3 + 12x^2 - 27x - b = 0\) имело два корня, необходимо выполнение условия:

\[
38r_1 - 27 - b = 0
\]

Теперь решим это уравнение относительно параметра \(b\):

\[
38r_1 = 27 + b
\]
\[
b = 38r_1 - 27
\]

Таким образом, ответ на задачу будет следующим: уравнение \(x^3 + 12x^2 - 27x - b = 0\) имеет два корня при значении параметра \(b = 38r_1 - 27\), где \(r_1\) - это первый корень уравнения.