Определите период колебаний груза пружинного маятника, который совершает гармонические колебания вдоль некоторой

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу периода колебаний гармонического маятника. Период колебаний обозначается как \(T\) и зависит от длины \(l\) маятника и ускорения свободного падения \(g\).

По формуле периода колебаний маятника, выражение для \(T\) можно записать следующим образом:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]

В данной задаче нам даны значения скорости груза при различных расстояниях от положения равновесия. Расстояние от положения равновесия обозначается как \(x\), а скорость груза обозначается как \(v\).

Из условия задачи известны следующие данные:
\(v_1 = 4\) см/с при \(x_1 = 5\) см
\(v_2 = 5\) см/с при \(x_2 = 3\) см

Чтобы найти период колебаний груза маятника, необходимо найти его длину \(l\). Для этого воспользуемся следующими соотношениями:

\[v^2 = \frac{{2g(x_1-x)}}{l}\]

\[v^2 = \frac{{2g(x_2-x)}}{l}\]

Подставим известные значения:

\[(4)^2 = \frac{{2g(5-x)}}{l}\]

\[(5)^2 = \frac{{2g(3-x)}}{l}\]

Теперь разрешим эти уравнения относительно длины \(l\).

Раскрыв скобки и сократив на ускорение свободного падения \(g\), получим:

\[16 = \frac{{10(5-x)}}{l}\]

\[25 = \frac{{6(3-x)}}{l}\]

Теперь перепишем эти уравнения, умножив обе части на длину \(l\):

\[16l = 10(5-x)\]

\[25l = 6(3-x)\]

Теперь решим полученную систему уравнений. Для этого умножим первое уравнение на 6 и второе уравнение на 10:

\[96l = 60(5-x)\]

\[250l = 60(3-x)\]

Раскроем скобки:

\[96l = 300 - 60x\]

\[250l = 180 - 60x\]

Теперь сложим эти два уравнения:

\[96l + 250l = 300 - 60x + 180 - 60x\]

\[346l = 480 - 120x\]

\[l = \frac{{480 - 120x}}{{346}}\]

Теперь мы можем найти период колебаний маятника с помощью формулы:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]

Подставим найденное значение длины \(l\) и ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с²:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{{\frac{{480 - 120x}}{{346}}}}{9.8}}\]

Упростим выражение и вычислим период колебаний маятника \(T\):

\[T \approx 2\pi\sqrt{\frac{{480 - 120x}}{{346 \cdot 9.8}}}\]

Таким образом, период колебаний груза пружинного маятника будет равен \(T \approx 2\pi\sqrt{\frac{{480 - 120x}}{{346 \cdot 9.8}}}\)