Определите отношение ускорений, приобретенных двумя шариками во время их столкновения на гладкой поверхности. Радиус

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется применить закон сохранения импульса. Он гласит, что сумма импульсов системы из двух тел до столкновения равна сумме импульсов после столкновения.

Импульс тела вычисляется по формуле:
\[p = m \cdot v,\]
где \(p\) - импульс, \(m\) - масса тела, \(v\) - скорость тела.

По условию задачи, первый шарик имеет втрое меньший радиус, чем второй шарик (обозначим это отношение радиусов как \(r_1/r_2 = 1/3\)). Так как радиус пропорционален массе шарика, то масса первого шарика будет составлять \((1/3)^3 = 1/27\) от массы второго шарика, в результате чего \(m_1/m_2 = 1/27\).

Теперь нужно учесть, что в момент столкновения шариков, они оба имеют одну и ту же скорость после столкновения \(v"\), так как происходит полное слияние шариков. Учитывая все это, мы можем записать уравнение для сохранения импульса:

\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v",\]

где \(v_1\) и \(v_2\) - скорости первого и второго шариков соответственно до столкновения, а \(v"\) - скорость обоих шариков после столкновения.

Мы можем выразить \(v"\) из этого уравнения:
\[(1/27) \cdot m_2 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = ((1/27) \cdot m_2 + m_2) \cdot v".\]

Упростив это уравнение, получим:
\[v_1 + 27 \cdot v_2 = 28 \cdot v".\]

Теперь мы можем понять, относительно чего мы хотим найти отношение ускорений \(a_1/a_2\). Ускорение определяется как изменение скорости в единицу времени. Для того чтобы выразить ускорение, мы можем использовать соотношение:

\[a = \Delta v / \Delta t.\]

В нашем случае ускорение первого шарика \(a_1\) равно второй производной скорости первого шарика по времени \(t\), а ускорение второго шарика \(a_2\) равно второй производной скорости второго шарика по времени \(t\). Поскольку время столкновения для обоих шариков одинаково, то \(\Delta t = 1\).

Теперь, чтобы найти отношение \(a_1/a_2\), нам нужно выразить ускорения через скорости и применить закон сохранения импульса.

Сначала выразим изменение скорости первого шарика \(\Delta v_1\) через его ускорение \(a_1\):
\[\Delta v_1 = a_1 \cdot \Delta t.\]

Аналогично выразим изменение скорости второго шарика \(\Delta v_2\) через его ускорение \(a_2\):
\[\Delta v_2 = a_2 \cdot \Delta t.\]

Подставим полученные выражения для изменений скоростей в уравнение сохранения импульса:
\(v_1 + 27 \cdot v_2 = 28 \cdot v".\)

Теперь заменим \(\Delta v_1\) и \(\Delta v_2\) и \(\Delta t\) в этом уравнении соответствующими выражениями:
\(a_1 \cdot \Delta t + 27 \cdot a_2 \cdot \Delta t = 28 \cdot (v_1 + a_1 \cdot \Delta t).\)

Так как \(\Delta t = 1\), можем упростить это уравнение:
\(a_1 + 27 \cdot a_2 = 28 \cdot (v_1 + a_1).\)

Теперь можно выразить отношение \(a_1/a_2\) через полученные уравнения:
\[(a_1/a_2) = (28 \cdot (v_1 + a_1) - a_1) / 27.\]

Поздравляю! Мы получили выражение для отношения ускорений \(a_1/a_2\) в терминах скорости \(v_1\) и ускорения \(a_1\).