Определите количество решений данной системы уравнений: { 3 x + y + 3 = 0 2 x + 2 y + 2

Решим данную систему уравнений, чтобы определить количество решений.

Имеем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
3x + y + 3 = 0 \\
2x + 2y + 2 = 0
\end{cases}
\]

Для начала, попробуем привести систему к более удобному виду, убрав коэффициенты перед переменными. Для этого вычтем второе уравнение из первого:

\[
\begin{cases}
3x + y + 3 - (2x + 2y + 2)= 0 \\
2x + 2y + 2 = 0
\end{cases}
\]

Выполним вычитание:
\[
\begin{cases}
x - y + 1= 0 \\
2x + 2y + 2 = 0
\end{cases}
\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Если мы посмотрим на первое уравнение, мы можем заметить, что оно выражает \(x\) через \(y\). Второе уравнение не содержит \(y\) в качестве отдельной переменной.

Чтобы решить систему, мы можем воспользоваться методом подстановки. Возьмем первое уравнение:

\[
x = y - 1
\]

Подставим значение \(x\) во второе уравнение:

\[
2(y - 1) + 2y + 2 = 0
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
2y - 2 + 2y + 2 = 0
\]

Сгруппируем похожие члены:

\[
4y = 0
\]

Разделим обе части уравнения на 4:

\[
y = 0
\]

Теперь, имея значение y, мы можем найти значение x, подставив его в любое из наших исходных уравнений. Для удобства, воспользуемся первым уравнением:

\[
x = 0 - 1 = -1
\]

Таким образом, мы получили единственное решение для системы уравнений: \(x = -1\) и \(y = 0\).

Итак, данная система имеет ровно одно решение.