Какова сумма первых восьми членов геометрической прогрессии, если известно, что её знаменатель равен 2 и что сумма

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[S_n = a_1 \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\]

Где:
\(S_n\) - сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии,
\(r\) - знаменатель (отношение между соседними членами прогрессии).

Из условия задачи, нам известно, что знаменатель равен 2. При этом, сумма второго и пятого членов равна некоторому числу \(k\).

Первый шаг: Определение \(a_1\) и \(r\).
Мы знаем, что знаменатель равен 2, поэтому \(r = 2\).

Второй шаг: Поиск \(a_1\).
Для нахождения \(a_1\) нам необходимо использовать сумму второго и пятого членов прогрессии.
По формуле \(S_n = a_1 \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\) мы можем записать следующее:

\[a_1 \cdot \frac{{1 - 2^2}}{{1 - 2}} = k\]

Упрощая это уравнение, мы получим:

\[a_1 \cdot \frac{{1 - 4}}{{-1}} = k\]
\[a_1 \cdot (-3) = k\]
\[a_1 = -\frac{k}{3}\]

Третий шаг: Нахождение суммы первых восьми членов.
Теперь, когда у нас есть \(a_1\) и \(r\), мы можем найти сумму первых восьми членов прогрессии. Подставим значения в формулу:

\[S_8 = -\frac{k}{3} \cdot \frac{{1 - 2^8}}{{1 - 2}}\]

Определим значение \(1 - 2^8\):

\[1 - 256 = -255\]

Подставим это значение в формулу:

\[S_8 = -\frac{k}{3} \cdot \frac{{-255}}{{-1}}\]

Упростим выражение:

\[S_8 = \frac{k \cdot 255}{3}\]

Итак, сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна \(\frac{k \cdot 255}{3}\).