Определите, какие из утверждений верны. Выберите все подходящие ответы. 1) При любом реальном значении a вершины параболы f(x)=−x^2+2ax−a^2+a+1 образуют параболу. 2) Если функция f(x)=x^2+px+q принимает только неотрицательные значения, то минимальное значение выражения p+q равно -1. 3) При любом реальном значении a вершины параболы f(x)=x^2−2ax+2a^2+1 лежат на одной линии. 4) Если p и q - некоторые числа и 2p−q=4, то все параболы вида y=x:2+px+q проходят через одну точку.
Крошка_3182
Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и определим, верны ли они.
1) При любом реальном значении a вершины параболы \(f(x)=-x^2+2ax-a^2+a+1\) образуют параболу.
Для нахождения вершины параболы, нам нужно найти x-координату, которая находится по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\), где a и b - коэффициенты перед соответствующими степенями в уравнении. В данном случае коэффициенты равны a = -1, b = 2a, c = -a^2+a+1. Подставим их в формулу:
\[x = -\frac{2a}{2(-1)} = a\]
Таким образом, x-координата вершины равна a. y-координата вершины может быть найдена, подставив найденное значение x в уравнение параболы:
\[f(a) = -a^2 + 2a(a) - a^2 + a + 1 = -2a^2 + a + 1\]
Утверждение говорит, что эти вершины образуют параболу при любом реальном значении а. Давайте рассмотрим это выражение подробнее. Коэффициент перед \(a^2\) равен -2, что означает, что парабола открывается вниз.
Основываясь на этом, мы можем сделать вывод, что это утверждение неверно, так как параболы с вершиной в зависимости от значения а будут либо открыты вниз, либо открыты вверх. Они не будут образовывать параболу в каждом случае.
2) Если функция \(f(x) = x^2 + px + q\) принимает только неотрицательные значения, то минимальное значение выражения \(p+q\) равно -1.
Для нахождения минимального значения выражения \(p+q\), нам нужно исследовать функцию \(f(x)\). Функция \(f(x) = x^2 + px + q\) представляет собой параболу с вершиной в точке \((- \frac{p}{2}, q - \frac{p^2}{4})\).
Утверждение говорит, что функция принимает только неотрицательные значения. Это возможно только тогда, когда вершина параболы лежит выше или на оси x. То есть, \(q - \frac{p^2}{4} \geq 0\).
Учитывая это, мы можем записать неравенство:
\[q - \frac{p^2}{4} \geq 0\]
Чтобы найти минимальное значение выражения \(p+q\), мы можем рассмотреть случай, когда неравенство выполняется "на равных". То есть:
\[q - \frac{p^2}{4} = 0\]
Из этого уравнения мы можем найти значения \(p\) и \(q\):
\[p = 0\]
\[q = 0\]
Теперь мы можем найти минимальное значение выражения \(p+q\):
\[p+q = 0 + 0 = 0\]
Таким образом, утверждение неверно, минимальное значение выражения \(p+q\) равно 0, а не -1.
3) При любом реальном значении \(a\) вершины параболы \(f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 + 1\) лежат на одной линии.
Для нахождения вершины параболы, используем формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). В данном случае коэффициенты равны \(a = 1\), \(b = -2a\) и \(c = 2a^2 + 1\). Подставим их в формулу:
\[x = -\frac{-2a}{2(1)} = a\]
Таким образом, x-координата вершины равна \(a\). y-координата вершины может быть найдена, подставив найденное значение \(x\) в уравнение параболы:
\[f(a) = a^2 - 2a(a) + 2a^2 + 1 = a^2 + 1\]
Утверждение говорит, что вершины параболы лежат на одной линии при любом реальном значении \(a\). Основываясь на полученном уравнении параболы \(f(a) = a^2 + 1\), мы видим, что y-координата вершины не зависит от значения \(a\). То есть вершина параболы всегда будет находиться на одной и той же высоте \(y = 1\). Поэтому утверждение верно.
4) Если \(p\) и \(q\) - некоторые числа и \(2p-q=4\), то все параболы вида \(y=x^2+px+q\) проходят через одну точку.
Для того, чтобы понять, проходят ли все параболы вида \(y=x^2+px+q\) через одну точку, нам нужно рассмотреть случай, когда \(p\) и \(q\) удовлетворяют уравнению \(2p-q=4\).
Найдем \(p\) и \(q\) из данного уравнения:
\[2p - q = 4\]
\[q = 2p - 4\]
Теперь, подставим полученные значения \(p\) и \(q\) в уравнение параболы \(y = x^2 + px + q\):
\[y = x^2 + px + (2p-4)\]
Чтобы узнать, проходит ли парабола через одну точку, мы должны найти координаты этой точки. Для этого выразим \(x\) и \(y\), положив их равными константам \(a\) и \(b\):
\[a^2 + pa + (2p-4) = b\]
Таким образом, у нас получается уравнение вида \(a^2 + pa + (2p-4) = b\), где \(a\) и \(b\) - константы. Это квадратное уравнение, имеющее два корня. Значит, парабола не проходит через одну точку для всех значений \(p\) и \(q\) удовлетворяющих \(2p-q=4\). Поэтому утверждение неверно.
Итак, мы подробно рассмотрели каждое из утверждений и пришли к выводу:
Правильные утверждения: 3)
Неправильные утверждения: 1), 2), 4)
1) При любом реальном значении a вершины параболы \(f(x)=-x^2+2ax-a^2+a+1\) образуют параболу.
Для нахождения вершины параболы, нам нужно найти x-координату, которая находится по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\), где a и b - коэффициенты перед соответствующими степенями в уравнении. В данном случае коэффициенты равны a = -1, b = 2a, c = -a^2+a+1. Подставим их в формулу:
\[x = -\frac{2a}{2(-1)} = a\]
Таким образом, x-координата вершины равна a. y-координата вершины может быть найдена, подставив найденное значение x в уравнение параболы:
\[f(a) = -a^2 + 2a(a) - a^2 + a + 1 = -2a^2 + a + 1\]
Утверждение говорит, что эти вершины образуют параболу при любом реальном значении а. Давайте рассмотрим это выражение подробнее. Коэффициент перед \(a^2\) равен -2, что означает, что парабола открывается вниз.
Основываясь на этом, мы можем сделать вывод, что это утверждение неверно, так как параболы с вершиной в зависимости от значения а будут либо открыты вниз, либо открыты вверх. Они не будут образовывать параболу в каждом случае.
2) Если функция \(f(x) = x^2 + px + q\) принимает только неотрицательные значения, то минимальное значение выражения \(p+q\) равно -1.
Для нахождения минимального значения выражения \(p+q\), нам нужно исследовать функцию \(f(x)\). Функция \(f(x) = x^2 + px + q\) представляет собой параболу с вершиной в точке \((- \frac{p}{2}, q - \frac{p^2}{4})\).
Утверждение говорит, что функция принимает только неотрицательные значения. Это возможно только тогда, когда вершина параболы лежит выше или на оси x. То есть, \(q - \frac{p^2}{4} \geq 0\).
Учитывая это, мы можем записать неравенство:
\[q - \frac{p^2}{4} \geq 0\]
Чтобы найти минимальное значение выражения \(p+q\), мы можем рассмотреть случай, когда неравенство выполняется "на равных". То есть:
\[q - \frac{p^2}{4} = 0\]
Из этого уравнения мы можем найти значения \(p\) и \(q\):
\[p = 0\]
\[q = 0\]
Теперь мы можем найти минимальное значение выражения \(p+q\):
\[p+q = 0 + 0 = 0\]
Таким образом, утверждение неверно, минимальное значение выражения \(p+q\) равно 0, а не -1.
3) При любом реальном значении \(a\) вершины параболы \(f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 + 1\) лежат на одной линии.
Для нахождения вершины параболы, используем формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). В данном случае коэффициенты равны \(a = 1\), \(b = -2a\) и \(c = 2a^2 + 1\). Подставим их в формулу:
\[x = -\frac{-2a}{2(1)} = a\]
Таким образом, x-координата вершины равна \(a\). y-координата вершины может быть найдена, подставив найденное значение \(x\) в уравнение параболы:
\[f(a) = a^2 - 2a(a) + 2a^2 + 1 = a^2 + 1\]
Утверждение говорит, что вершины параболы лежат на одной линии при любом реальном значении \(a\). Основываясь на полученном уравнении параболы \(f(a) = a^2 + 1\), мы видим, что y-координата вершины не зависит от значения \(a\). То есть вершина параболы всегда будет находиться на одной и той же высоте \(y = 1\). Поэтому утверждение верно.
4) Если \(p\) и \(q\) - некоторые числа и \(2p-q=4\), то все параболы вида \(y=x^2+px+q\) проходят через одну точку.
Для того, чтобы понять, проходят ли все параболы вида \(y=x^2+px+q\) через одну точку, нам нужно рассмотреть случай, когда \(p\) и \(q\) удовлетворяют уравнению \(2p-q=4\).
Найдем \(p\) и \(q\) из данного уравнения:
\[2p - q = 4\]
\[q = 2p - 4\]
Теперь, подставим полученные значения \(p\) и \(q\) в уравнение параболы \(y = x^2 + px + q\):
\[y = x^2 + px + (2p-4)\]
Чтобы узнать, проходит ли парабола через одну точку, мы должны найти координаты этой точки. Для этого выразим \(x\) и \(y\), положив их равными константам \(a\) и \(b\):
\[a^2 + pa + (2p-4) = b\]
Таким образом, у нас получается уравнение вида \(a^2 + pa + (2p-4) = b\), где \(a\) и \(b\) - константы. Это квадратное уравнение, имеющее два корня. Значит, парабола не проходит через одну точку для всех значений \(p\) и \(q\) удовлетворяющих \(2p-q=4\). Поэтому утверждение неверно.
Итак, мы подробно рассмотрели каждое из утверждений и пришли к выводу:
Правильные утверждения: 3)
Неправильные утверждения: 1), 2), 4)
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
