Определите интервалы, на которых функция возрастает и убывает, построив график y=(x-3)²-2

Хорошо! Для начала мы вычислим производную функции y=(x-3)²-2, чтобы найти ее поведение на интервалах.

Шаг 1: находим производную функции
Для этого применим правило дифференцирования для функции вида (x-a)², которое гласит: \((x-a)^2\) дифференцируется как \(2(x-a)\)
Таким образом, производная функции y=(x-3)²-2 будет равна:
\[y" = 2(x-3)\]

Шаг 2: находим точки, где производная равна нулю или не существует
Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, требуется найти точки, где производная равна нулю или не существует. Для нашей функции \(y" = 2(x-3)\), мы должны решить уравнение:

\[2(x-3) = 0\]

\[x - 3 = 0\]

\[x = 3\]

Таким образом, единственная точка, где производная равна нулю, это x = 3.

Шаг 3: выбираем тестовые точки на каждом интервале
Чтобы определить, возрастает или убывает функция на каждом интервале, выберем тестовые точки внутри интервалов и подставим их в производную функции.

Выберем точку x = 2 (меньше 3) и попробуем ее подставить в производную функцию \(y" = 2(x-3)\):

\[y"(2) = 2(2-3) = -2\]

Точка x = 2 показывает, что производная функции отрицательна на интервале \((-\infty, 3)\), что означает, что функция убывает на этом интервале.

Выберем точку x = 4 (больше 3) и попробуем ее подставить в производную функцию \(y" = 2(x-3)\):

\[y"(4) = 2(4-3) = 2\]

Точка x = 4 показывает, что производная функции положительна на интервале \((3, +\infty)\), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Шаг 4: составляем таблицу возрастания и убывания
Исходя из наших вычислений и выбранных тестовых точек, мы можем составить таблицу интервалов возрастания и убывания.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Поведение функции} \\
\hline
(-\infty,3) & \text{убывает} \\
\hline
(3,+\infty) & \text{возрастает} \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, функция \(y=(x-3)^2-2\) убывает на интервале \((-\infty,3)\) и возрастает на интервале \((3,+\infty)\). Вы можете убедиться в этом, построив график функции и заметив, как значение y меняется при изменении x на каждом интервале.